Teorema del massimo modulo

In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se una funzione $f(z)$ è analitica in un dominio (aperto e connesso) $D$, allora $|f(z)|$ ammette un massimo in $D$ se e solo se $f(z)$ è una funzione costante.

In particolare, se $f(z)$ è una funzione analitica non costante in un dominio limitato $D$ e continua sul bordo $\partial D$ allora il valore massimo di $|f(z)|$ sulla chiusura di $D$ (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su $\partial D$.

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio $D$.

Dimostrazione

Supponiamo che $|f(z)|$ ammetta un massimo $M$ in un punto $z_0\in D$. Essendo $D$ aperto, segue che esiste $\delta >0$ tale che il cerchio $R_{\delta }$ di centro $z_0$ e raggio $\delta$ sia contenuto in $D$.

Dalla formula integrale di Cauchy segue che

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{R_{\delta }}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux

$M=|f(z_0)|\le \frac{1}{2\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{|f(z)|}{|z-z_0|}|dz|\le M^{\prime },$

dove $M^{\prime }=\underset{z\in R_{\delta }}{\max }|f(z)|$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f(z)$ è costante (con $|f(z)|=M$) su $R_{\delta }$ e quindi su tutto $D$ per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che $M$ è il massimo di $|f(z)|$ e dunque si deve necessariamente avere $M=M^{\prime }$.

Bibliografia

• Template:En E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
• Template:En Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76–77, 1999.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Formula integrale di Cauchy
• Teorema integrale di Cauchy
• Integrazione complessa
• Teorema di Borel-Carathéodory

Collegamenti esterni

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