Sistema dinamico lineare stazionario discreto

In teoria dei sistemi, un sistema dinamico lineare stazionario discreto o sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto, spesso abbreviato in sistema LTI discreto, è un sistema dinamico lineare stazionario che ha in ingresso un segnale a tempo discreto.

Descrizione

Un sistema dinamico stazionario discreto è un sistema discreto i cui parametri non dipendono dal tempo:

$x(n+1)=f(x_0,n_0,u(n))$

$y(n)=h(x_0,n_0,u(n))$

dove $x(n)$ sono le variabili di stato al tempo $n$, $x_0$ le variabili di stato al tempo $n=0$, $u(n)$ e $y(n)$ le variabili di ingresso e uscita al tempo $n$.

Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso, ed in tal caso si può escrivere in forma matriciale

$x(n+1)=A(n)x(n)+B(n)u(n)$

$y(n)=C(n)x(n)+D(n)u(n)$

dove $A$, $B$, $C$ e $D$ sono matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano $x(n)$ e $u(n)$.

Un processo lineare stazionario (LTI) è quindi descritto da equazioni matriciali:

$\{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\ y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}$

dove le matrici sono costanti.

Funzione di trasferimento

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]\cdot h[k]$

Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$. Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$.

La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso $T$. La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua $x(t)$ nel segnale discreto:

$x[n]\stackrel{\text{def}}{=}x(nT)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$

con $1/T$ la frequenza di campionamento. Il teorema del campionamento pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad $1/(2T)$ se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di aliasing).

Come nel caso di sistemi a tempo continuo, se $O$ è l'operatore di trasformazione al tempo n:

$y[n]\stackrel{\text{def}}{=}{O}_n\{x\}$

la successione:

$h[n]\stackrel{\text{def}}{=}{O}_n\{\delta [m]\}$

caratterizza completamente il sistema. Per mostrare questo, dato che vale l'identità:

$x[m]\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot \delta [m-k]$

si ha:

$y[n]=O_n\{x\}=O_n\{\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot \delta [m-k]\}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot O_n\{\delta [m-k]\}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta [m]\}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot h[n-k]$

L'operatore $O_n$ restituisce un'uscita proporzionale alla media pesata di $x[k]$ con funzione peso data da $h[-k]$. Se $h[k]=0$ per valori di $k$ negativi il sistema è causale.

Autofunzioni

Gli esponenziali del tipo $z^n=e^{sTn}$, con $n\in \mathbb{Z}$, sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto $T\in ℝ$ il periodo di campionamento e $z=e^{sT}$, con $z,s\in ℂ$, si supponga $x[n]=z^n$ l'ingresso del sistema. Se $h[n]$ è la risposta impulsiva, si ha:

$y[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n-m]z^m=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[m]z^{(n-m)}=z^n\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[m]z^{-m}=z^{n}H(z)$

La funzione:

$H(z)\stackrel{\text{def}}{=}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[m]z^{-m}$

dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) $z^n$ del sistema LTI.

La trasformata zeta:

$H(z)=𝒵\{h[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n]z^{-n}$

è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure $e^{j\omega n}$, con $\omega \in ℝ$, che possono essere scritte come $z^n$, dove $z=e^{j\omega }$. Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:

$H(e^{j\omega })=ℱ\{h[n]\}$

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:

$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n-m]x[m]={𝒵}^{-1}\{H(z)X(z)\}$

Soluzione dell'equazione matriciale

Si vuole risolvere l'equazione:

$\{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\ y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}$

Si deve valutare per $n=0,1,2,\dots$ e pertanto si ha:

$x(1)=Ax(0)+Bu(0)$

$x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^{2}x(0)+ABu(0)+Bu(1)$

$x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^{3}x(0)+A^{2}Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)$

$x(n)=A^{n}x(0)+A^{n-1}Bu(0)+A^{n-2}Bu(1)+...+Bu(n-1)$

Si ottiene:

$x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{m=0}^{n-1}{A}^{m}Bu(n-m-1)$

Posto $l=n-m-1$ si ha $m=n-l-1$, e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

$x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}{A}^{n-l-1}Bu(l)$

Occorre distinguere i seguenti casi:

• $A$ ammette soltanto autovalori reali con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
• $A$ ammette soltanto autovalori complessi coniugati.
• $A$ ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
• $A$ non è diagonalizzabile.

Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidenti

In tal caso considerata la matrice $P$, n per n, le cui colonne sono gli autovettori di $A$ linearmente indipendenti che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiene, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:

$P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$

dove $\mathrm{\Lambda }$ è la matrice diagonale in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di $A$ ripetuti eventualmente ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di $A$ sono reali e distinti sulla matrice diagonale $\mathrm{\Lambda }$ vi saranno gli n autovalori distinti di $A$. Essendo $A=P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1}$ allora:

$A^n=(P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1})(P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1})...(P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1})=P{\mathrm{\Lambda }}^n{P}^{-1}$

pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:

$x(n)=P{\mathrm{\Lambda }}^n{P}^{-1}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P{\mathrm{\Lambda }}^{n-l-1}{P}^{-1}Bu(l)$

Si nota che la risposta libera nello stato ottenuta ponendo $u(t)=0$ è:

$x_l(n)=P{\mathrm{\Lambda }}^n{P}^{-1}x(0)$

mentre la risposta forzata nello stato, ottenuta ponendo $x(0)=0$, è:

$x_f(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P{\mathrm{\Lambda }}^{n-l-1}{P}^{-1}Bu(l)$

Inoltre la risposta libera nell'uscita per $u(l)=0$ è:

$y_l(n)=CP{\mathrm{\Lambda }}^n{P}^{-1}x(0)$

mentre la risposta forzata nell'uscita' per $x(0)=0$ è:

$y_f(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP{\mathrm{\Lambda }}^{n-l-1}{P}^{-1}Bu(l)+Du(n)$

Autovalori complessi coniugati

Volendo analizzare il caso in cui $A$ ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che $A$ sia una matrice 2 per 2 e siano $\alpha +j\omega$ ($j$ è l'unità immaginaria), $\alpha -j\omega$ i due autovalori complessi coniugati di $A$, e siano $u_a+j{u}_b$, $u_a-j{u}_b$ i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:

$(A-(\alpha +j\omega )I)((u_a+j{u}_b)=0$

dove $I$ è la matrice identica di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:

$((A-\alpha I)u_a+\omega u_b)+j((A-\alpha I)u_b+\omega u_a))=0$

Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:

$\begin{array}{c}(A-\alpha I)u_a+\omega u_b=0\\ (A-\alpha I)u_b+\omega u_a=0\end{array}$

che può essere posto nella forma:

$A(u_a{u}_b)=(u_a{u}_b)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \omega \\ -\omega & \alpha \end{array}\right)$

Pertanto se si pone $T^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:

$TA{T}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \omega \\ -\omega & \alpha \end{array}\right)$

Rappresentando il numero complesso $u_a+j{u}_b$ nel piano di Gauss se $\lambda$ è il modulo e $\beta$ l'argomento si ha:

$\alpha =\lambda \cos \beta$ e $\omega =\lambda \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\beta$

pertanto:

$A=T^{-1}\lambda \left(\begin{array}{cc}\cos \beta & \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\beta \\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\beta & \cos \beta \end{array}\right)T$

Si dimostra per induzione che:

$A^n=T^{-1}{\lambda }^n\left(\begin{array}{cc}\cos n\beta & \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n\beta \\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n\beta & \cos n\beta \end{array}\right)T$

Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

$x(n)=T^{-1}{\lambda }^n\left(\begin{array}{cc}\cos n\beta & \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n\beta \\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n\beta & \cos n\beta \end{array}\right)Tx(0)+\sum _{l=0}^{n-1}{T}^{-1}{\lambda }^n\left(\begin{array}{cc}\cos (n-l-1)\beta & \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(n-l-1)\beta \\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(n-l-1)\beta & \cos (n-l-1)\beta \end{array}\right)TBu(l)$

Autovalori reali e autovalori complessi coniugati

Si supponga che la matrice $A$ di ordine n ammetta $k$ autovalori reali distinti ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k$ a cui corrispondono $k$ autovettori distinti $v_1,v_2,...,v_k$ allora si hanno le seguenti equazioni:

$\begin{array}{c}A{v}_1={\lambda }_1{v}_1\\ A{v}_2={\lambda }_2{v}_2\\ ...\\ A{v}_k={\lambda }_k{v}_k\end{array}$

Si supponga inoltre che la matrice $A$ ammetta $p$ coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è:${\alpha }_p+j{\omega }_p$ e ${\alpha }_p-j{\omega }_p$ a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati $u_{a_p}+j{u}_{b_p}$ e $u_{a_p}-j{u}_{b_p}$ allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se ${\tau }_p$ è il modulo dell'autovalore p-esimo e $\beta$ il suo argomento si ha:

$A(u_{a_p}{u}_{b_p})=(u_{a_p}{u}_{b_p}){\tau }_p\left(\begin{array}{cc}\cos {\beta }_p& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{\beta }_p\\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{\beta }_p& \cos {\beta }_p\end{array}\right)$

Ora posto $T^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono i $k$ autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle $p$ coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:

$T^{-1}=(v_1,v_2,...,v_k,u_{a_1},u_{b_1},u_{a_2},u_{b_2},...,u_{a_p},u_{b_p})$

allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi:

$TA{T}^{-1}=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k,{\tau }_p\left(\begin{array}{cc}\cos {\beta }_1& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{\beta }_1\\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{\beta }_1& \cos {\beta }_1\end{array}\right),...,{\tau }_p\left(\begin{array}{cc}\cos {\beta }_p& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{\beta }_p\\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{\beta }_p& \cos {\beta }_p\end{array}\right))$

pertanto:

$x_l(t)=T^{-1}\text{diag}({\lambda }_1^n,{\lambda }_2^n,...,{\lambda }_k^n,{\tau }_p^n\left(\begin{array}{cc}\cos n{\beta }_1& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n{\beta }_1\\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n{\beta }_1& \cos n{\beta }_1\end{array}\right),...,{\tau }_p^n\left(\begin{array}{cc}\cos n{\beta }_p& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n{\beta }_p\\ -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}n{\beta }_p& \cos n{\beta }_p\end{array}\right))Tx(0)$

Bibliografia

• E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
• A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.
• O.M. Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari, Pitagora Editrice, Bologna, 1978

Voci correlate

• Controllabilità
• Controllo automatico
• Delta di Dirac
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Osservabilità
• Punto di equilibrio
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Teoria della stabilità
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata di Laplace
• Trasformata zeta