Radice dell'unità

Template:F In matematica, le radici $n$-esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui $n$-esima potenza è pari a $1$, ovvero le soluzioni dell'equazione:

$x^n=1.$

Le radici

Nel campo complesso $ℂ$ per ogni intero positivo $n$ esistono esattamente $n$ radici $n$-esime dell'unità e sono nella forma

Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo

$r_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}=e^{2\pi ik/n}$

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con $k$ intero, $0\le k\le n-1$.

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con $n$ lati che ha un vertice in $(1,0)$.

Tra queste radici le uniche reali sono r₀Template:Sp=Template:Sp1 e, se $n=2k$ (cioè è pari) r_kTemplate:Sp=Template:Sp-1.

Per ogni $n$ l'insieme delle radici $n$-esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive $n$-esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici $n$-esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive $n$-esime dell'unità sono quelle radici $n$-esime dell'unità tali che:

$\mathrm{\forall }m<n:r^m\ne 1$.

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero $\varphi (n)$ di interi minori di $n$ e coprimi con $n$. Qui $\varphi$ è la funzione φ di Eulero.

Radici di un numero complesso qualsiasi

Le radici $n$-esime di un numero complesso $z$ possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

$z=|z|e^{i\varphi }=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ).$

Se $z$ è diverso da zero, le radici $n$-esime di $z$ sono effettivamente $n$ radici distinte. Una di queste è la seguente

$w_0=\sqrt[n]{|z|}{e}^{\frac{i\varphi }{n}}.$

Infatti

$w_0^n={\left(\sqrt[n]{|z|}{e}^{\frac{i\varphi }{n}}\right)}^n=|z|e^{\frac{ni\varphi }{n}}=|z|e^{i\varphi }.$

Più in generale, le $n$ radici $w_0,\dots ,w_{n-1}$ di $z$ si ottengono moltiplicando $w_0$ con le $n$ radici dell'unità. Quindi

$w_k=\sqrt[n]{|z|}(\cos (\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n})+i\sin (\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}))$

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di $n$ lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è $\sqrt[n]{|z|}$.

Esempi

Le radici quarte di un numero reale positivo $a$ sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di $a$ per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di $a$ sono quindi:

$\sqrt[4]{a},i\sqrt[4]{a},-\sqrt[4]{a},-i\sqrt[4]{a}.$

Le radici $n$-esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di $n$ lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di $\pi /n$ in senso antiorario il poligono formato dalle radici $n$-esime dell'unità. Il numero $-1$ è vertice del poligono quando $n$ è dispari.

Alcune radici di 1

$\left\{\sqrt[0]{1}\right\}=ℂ-\left\{0\right\}$

$\sqrt[1]{1}=1$

$\sqrt[2]{1}=\pm 1$

$\left\{\sqrt[3]{1}\right\}=\{1;\frac{-1+i\sqrt{3}}{2};\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$

$\left\{\sqrt[4]{1}\right\}=\{\pm 1;\pm i\}$

$\left\{\sqrt[5]{1}\right\}=\{1;\frac{u\sqrt{5}-1}{4}+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt{5}}{8}}i:u,v\in \{-1,1\}\}.$

$\left\{\sqrt[6]{1}\right\}=\{\pm 1;\frac{\pm 1+i\sqrt{3}}{2};\frac{\pm 1-i\sqrt{3}}{2}\}$

$\left\{\sqrt[8]{1}\right\}=\{\pm 1;\pm i;\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}};\pm \frac{1-i}{\sqrt{2}}\}$

Voci correlate

• Polinomio ciclotomico
• Equazione ciclotomica
• Uno
• Unità immaginaria
• Radicale (matematica)
• Radice (matematica)
• Numero complesso

Collegamenti esterni

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