Equazione ciclotomica

Template:F LTemplate:'equazione ciclotomica è l'equazione che si deve risolvere per cercare le radici $n$-sime dell'unità.

Si cercano le soluzioni dell'equazione

$z^n-1=0,$

nel campo dei numeri complessi, o equivalentemente di $z^n=1$, cioè si cercano le $n$ radici $n$-sime dell'unità.

Ad un punto della circonferenza unitaria nel piano di Argand-Gauss risulta associato il numero complesso

$z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },$

dove si è aggiunta la notazione esponenziale dei numeri complessi.

Le n radici dell'unità sulla circonferenza unitaria.

Considerando la circonferenza unitaria di centro $O(0,0)$ e raggio unitario nel piano complesso, le radici dell'equazione giacciono sulla circonferenza unitaria e la dividono in $n$ archi uguali.

Poiché le radici dell'equazione $z^{n-1}+z^{n-2}+z^{n-3}+\dots +z+1=0,$ insieme alla radice $z=1$ sono le $n$ radici dell'unità e dividono la circonferenza unitaria in $n$ parti uguali, l'equazione precedente è detta equazione ciclotomica ("che divide la circonferenza").

Si ricordi che le $n$ radici n-sime dell'unità, cioè i numeri $R,R^2,R^3,\dots ,R^n=1$ formano un gruppo moltiplicativo, dal momento che soddisfano le seguenti condizioni:

1. chiusura: $R^a{R}^b=R^{a+b}=R^c$ dove $a$, $b$, $c$ sono interi minori di $n;$
2. associatività: $R^a(R^b{R}^c)=(R^a{R}^b)R^c=R^{a+b+c};$
3. elemento neutro: $R^n$ poiché $R^a{R}^n=R^a;$
4. elemento inverso di $R^a$ è $R^{n-a}.$

Voci correlate

• Radici dell'unità
• Polinomio ciclotomico
• Eptadecagono