Polinomio ciclotomico

In matematica, l'$n$-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

${\mathrm{\Phi }}_n(z)=\prod _{k=1}^{\phi (n)}(z-z_k),$

dove $\phi$ è la funzione φ di Eulero, e $z_k$ sono quei numeri distinti per cui vale

$\begin{array}{cc}{z}_k^n& =1;\\ z_k^m& \ne 1,\mathrm{\forall }m<n.\end{array}$

Formula generale

Il polinomio $z^n-1$ ha come radici tutte le radici $n$-esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice $d$-esima primitiva, dove $d$ è un divisore positivo di $n$. Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

$z^n-1=\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(z).$

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene

${\mathrm{\Phi }}_n(z)=\prod _{d\mid n}(z^{n/d}-1{)}^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}(z^d-1{)}^{\mu (n/d)},$

dove $\mu$ è la funzione di Möbius.

Proprietà

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se $p$ è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di $z$ da $0$ a $p-1$:

${\mathrm{\Phi }}_p(z)=\sum _{k=0}^{p-1}{z}^k.$

Sostituendo a $z$ un qualunque numero naturale $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{\Phi }}_p(n)$ è una repunit in base $n$; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se $p$ è primo e $d\mid {\mathrm{\Phi }}_p$, allora $d\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ oppure $d\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

Dalla formula generale è possibile calcolare algoritmicamente ogni polinomio ciclotomico, ma ci sono altre proprietà che legano i vari polinomi ciclotomici ${\mathrm{\Phi }}_n$ in base ai primi che dividono $n$. In particolare:

• ${\mathrm{\Phi }}_{p^r}(z)={\mathrm{\Phi }}_p(z^{p^{r-1}})$, per $p$ primo;
• ${\mathrm{\Phi }}_n(z)={\mathrm{\Phi }}_{p_1\dots p_s}(z^{{p_1}^{r_1-1}\dots {p_s}^{r_s-1}})$, per $n=p_1^{r_1-1}\dots p_s^{r_s-1}$ con fattori $p_i$ distinti;
• ${\mathrm{\Phi }}_{2n}(z)={\mathrm{\Phi }}_n(-z)$, per $n\ge 3$ dispari;
• ${\mathrm{\Phi }}_{pn}(z)=\frac{{\mathrm{\Phi }}_n(z^p)}{{\mathrm{\Phi }}_n(z)}$, per un qualsiasi primo $p$ tale che $p\nmid n$.

Elenco di polinomi ciclotomici

I primi polinomi ciclotomici sono:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_1(z)& =z-1\\ {\mathrm{\Phi }}_2(z)& =z+1\\ {\mathrm{\Phi }}_3(z)& =z^2+z+1\\ {\mathrm{\Phi }}_4(z)& =z^2+1\\ {\mathrm{\Phi }}_5(z)& =z^4+z^3+z^2+z+1\\ {\mathrm{\Phi }}_6(z)& =z^2-z+1\\ {\mathrm{\Phi }}_7(z)& =z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1\\ {\mathrm{\Phi }}_8(z)& =z^4+1\\ {\mathrm{\Phi }}_9(z)& =z^6+z^3+1\end{array}$

È stato dimostrato da A. S. Bang e A. Migotti che se $n$ ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora ${\mathrm{\Phi }}_n$ ha solo coefficienti tra $1$, $0$ e $-1$. Il primo $n$ a non soddisfare queste ipotesi è $105=3\cdot 5\cdot 7$, e calcolando ${\mathrm{\Phi }}_{105}$ si nota che tra i coefficienti compare un $-2$. Il viceversa non vale: ${\mathrm{\Phi }}_{651}(z)$ = ${\mathrm{\Phi }}_{3\cdot 7\cdot 31}(z)$ ha solo coefficienti in $\{1,-1,0\}$ ma $651$ è prodotto di tre primi dispari distinti.

Sempre sui coefficienti dei polinomi ciclotomici, si dimostra per induzione che il termine noto di ${\varphi }_n$, per ogni $n\ne 1$, è esattamente $1$.

Voci correlate

• Radice dell'unità
• Estensione ciclotomica

Collegamenti esterni

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