Radicale di un ideale

In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale (o nilradicale) di un ideale $I$ di un anello commutativo è l'ideale formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in $I$ o, equivalentemente in un anello commutativo unitario come l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti $I$. Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.

Il radicale di $I$, denotato con $\sqrt{I}$ o con $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(I)$, è un ideale radicale contenente $I$ e, più precisamente, è il più piccolo ideale radicale contenente $I$.

Il radicale dell'ideale $(0)$ dell'anello $A$ è detto radicale (o nilradicale) di $A$, e viene spesso indicato con $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(A)$.

Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che, se $K$ è un campo algebricamente chiuso, gli ideali radicali dell'anello dei polinomi $K[x_1,\dots ,x_n]$ sono in corrispondenza biunivoca con gli insiemi algebrici dello spazio affine ${𝔸}_K^n$.

Definizione

Sia $I$ un ideale di un anello commutativo $A$. Il radicale di I è l'insieme

$\sqrt{I}:=\{x\in A|\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:x^n\in I\}$

$\sqrt{I}$ è effettivamente un ideale, in quanto

$x^n\in I⟹(ax{)}^n\in I$ per ogni $a\in A$

se $x^n,y^m\in I$, allora $(x+y{)}^{n+m-1}=(x^{n+m-1}+\dots +c_n{x}^n{y}^{m-1})+(c_m{y}^m{x}^{n-1}+\dots +y^{n+m-1})\in I$

Equivalentemente in un anello commutativo unitario, il radicale di $I$ è l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti $I$: se infatti $x^n\in I$, allora $x^n\in P$ per ogni ideale primo $P\supseteq I$, e quindi $x\in P$; viceversa, se $x\in P$ per ogni ideale primo contenente $I$, allora l'insieme degli ideali che contengono $I$ ma non contengono alcuna potenza di $x$ ammette un elemento massimale (grazie al lemma di Krull), che è possibile dimostrare essere primo, contro l'ipotesi che $x$ fosse contenuto in tutti gli ideali primi contenenti $I$.

In particolare, il nilradicale di $A$, ovvero il radicale dell'ideale nullo, coincide con l'intersezione di tutti gli ideali primi di $A$.

Proprietà

La seconda caratterizzazione del radicale è utile per analizzarne il comportamento tramite omomorfismi: se $f:A⟶B$ è un omomorfismo il cui nucleo è contenuto in $I$, allora $f(\sqrt{(}I))=\sqrt{f(I)}$; in particolare, se $\pi :A⟶A/I$ è la proiezione canonica, $\sqrt{I}$ è la controimmagine del radicale dell'ideale nullo in $A/I$, ovvero del radicale di $A/I$. In particolare, $I$ è un ideale radicale se e solo se $A/I$ è un anello ridotto.

Inoltre, questa caratterizzazione implica che un ideale primo contiene $I$ se e solo se contiene $\sqrt{I}$: ne segue che $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$ (in quanto sono l'intersezione degli elementi dello stesso insieme) e, inoltre, che i chiusi $V(J)$ definiti da $I$ e da $\sqrt{I}$ nella topologia di Zariski dello spettro dell'anello coincidono.

Altre proprietà legano il radicale di $I$ alle operazioni tra ideali:

• $\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$
• $\sqrt{IJ}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}$
• $\sqrt{I^n}=\sqrt{I}$
• $\sqrt{I}=A⟺I=A$

Bibliografia

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Voci correlate

• Radicale di Jacobson