Teorema degli zeri di Hilbert

Template:F Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.

Sia $K$ un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi $K[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ e sia $I$ un ideale in questo anello. L'insieme algebrico $V(I)$ definito da questo ideale consiste di tutte le $n$-uple $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ in $K^n$ tali che $f(𝐱)=0$ per tutti gli $f$ in $I$. Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se $p$ è un qualche polinomio in $K[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ che si annulla sull'insieme algebrico $V(I)$, cioè $p(𝐱)=0$ per tutti gli $𝐱$ in $V(I)$, allora esiste un numero naturale $r$ tale che $p^r$ è in $I$.

Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se $I$ è un ideale proprio in $K[X_1,X_2,\dots ,X_n]$, allora $V(I)$ non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene $1$. Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che $K$ sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio $(X^2+1)$ in $ℝ[X]$ non ha uno zero comune.

Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come

$I(V(J))=\sqrt{J},$

per ogni ideale $J$. Qui, $\sqrt{J}$ denota il radicale di $J$ e $I(U)$ è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme $U$. In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in $K^n$ e gli ideali radicali di $K[X_1,X_2,\dots ,X_n]$.

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