Quadriaccelerazione

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadriaccelerazione di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza l'accelerazione tridimensionale definita nella meccanica classica.

La quadriaccelerazione trova applicazione in aree quali l'annichilazione dell'antiprotone, la risonanza delle particelle strane e la radiazione di una carica accelerata.

Definizione

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio $\tau$. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio, e la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

La quadriaccelerazione è definita come la variazione della quadrivelocità rispetto al tempo proprio:

$𝐀=\frac{d𝐔}{d\tau }=({\gamma }_u{\dot{\gamma }}_{u}c,{\gamma }_u^2𝐚+{\gamma }_u{\dot{\gamma }}_u𝐮)=({\gamma }_u^4\frac{𝐚\cdot 𝐮}{c},{\gamma }_u^2𝐚+{\gamma }_u^4\frac{(𝐚\cdot 𝐮)}{c^2}𝐮)$

dove:

$𝐚=\frac{d𝐮}{dt}{\dot{\gamma }}_u=\frac{𝐚\mathbf{\cdot }𝐮}{c^2}{\gamma }_u^3=\frac{𝐚\mathbf{\cdot }𝐮}{c^2}\frac{1}{{(1-\frac{u^2}{c^2})}^{3/2}}$

con ${\gamma }_u$ il fattore di Lorentz per la velocità $u$, ed il punto che denota la derivata rispetto alla coordinata temporale. In particolare, in un sistema di riferimento inerziale che si muove con l'oggetto si ha che $𝐮=0$, ${\gamma }_u=1$ e ${\dot{\gamma }}_u=0$, e pertanto:

$𝐀=(0,𝐚)$

Da un punto di vista geometrico, la quadriaccelerazione è la curvatura della linea di universo.

Le componenti della quadriaccelerazione sono legate a quelle della quadrivelocità attraverso la derivata covariante rispetto al tempo proprio:

$A^{\lambda }:=\frac{D{U}^{\lambda }}{d\tau }=\frac{d{U}^{\lambda }}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }$

dove il simbolo di Christoffel ${\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }$ si annulla in coordinate rettangolari.

La quadriaccelerazione è inoltre messa in relazione con la forza dalla relazione:

$F^{\mu }=m{A}^{\mu }$

dove m è la massa a riposo dell'oggetto considerato.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Dilatazione del tempo
• Moto iperbolico (relatività)
• Quadrivelocità
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski