Punto di equilibrio iperbolico

In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma:

$\dot{x}=f(x)$

è un punto di equilibrio $x_0$ tale per cui, se:

$\dot{u}=Df(x_0)u$

è la linearizzazione del sistema in un intorno di $x_0$, nessuno degli autovalori della matrice $Df(x_0)$ ha parte reale nulla.

Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile.

La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale

Descrizione

Sia $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ un campo vettoriale di classe $C^1$ con un punto di equilibrio (anche detto punto critico) $p$, ovvero un punto tale che:

$F(p)=0$

Sia $J_F(p)$ la matrice Jacobiana di $F$ al punto $p$. Se $J_F(p)$ non ha autovalori con parte reale nulla, allora $p$ è iperbolico.

Una soluzione ${\varphi }_t(x_0)$ dell'equazione $\dot{x}=f(x)$ che definisce il sistema (in generale non lineare), con $f\in C^1$, è l'evoluzione del sistema a partire dal punto iniziale $x_0$. Si tratta del flusso del sistema, la cui immagine è l'orbita per $x_0$. Il teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato. In altri termini, se l'origine è un punto di equilibrio iperbolico allora esiste un omeomorfismo $H$ che in un intorno dell'origine mappa le orbite del sistema non lineare in quelle del sistema lineare mantenendo la parametrizzazione temporale:

$H\circ {\varphi }_t(x_0)=e^{At}H(x_0)$

Esempio

Si consideri il seguente sistema non lineare:

$\frac{dx}{dt}=y$

$\frac{dy}{dt}=-x-x^3-\alpha y\alpha \ne 0$

Il punto $(0,0)$ è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è:

$J(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -\alpha \end{array}\right)$

Gli autovalori della matrice sono:

${\lambda }_{1,2}=\frac{-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-4}}{2}$

e hanno parte reale non nulla per $\alpha \ne 0$. Si tratta quindi di un punto di equilibrio iperbolico; il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di $(0,0)$. Quando $\alpha =0$, il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in $(0,0)$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Voci correlate

• Punto di equilibrio
• Sistema dinamico lineare
• Teorema di Hartman-Grobman
• Varietà centrale

Collegamenti esterni

• Scholarpedia curata da Eugene M. Izhikevich.