Probabilità condizionata

In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento $A$ rispetto a un evento $B$ è la probabilità che si verifichi $A,$ sapendo che $B$ è verificato. Questa probabilità, indicata $P(A|B)$ o $P_B(A)$, esprime una "correzione" delle aspettative per $A,$ dettata dall'osservazione di $B.$

Poiché, come si vedrà nella successiva definizione, $P(B)$ compare al denominatore, $P(A|B)$ ha senso solo se $B$ ha una probabilità non nulla di verificarsi.

È utile osservare che la notazione con il simbolo "barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.

Esempio

Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento $A$) ha probabilità $P(A)=1/6$ di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento $B$), la probabilità di $A$ diventa

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(B)}=\frac{1/6+3/6-3/6}{3/6}=\frac{1}{3}.$

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento $A$) ha probabilità $P(A)=1/6$ di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento $B$), la probabilità di $A$ diventa

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(B)}=\frac{1/6+3/6-4/6}{3/6}=0.$

Definizione

La probabilità di $A$ condizionata da $B$ è

$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},$

dove $P(A\cap B)$ è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ di misura $P,$ ogni evento $B$ eredita una struttura di spazio misurato $(B,{𝒜}_B,P)$, restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in $B,$ ed induce una nuova misura $P{\text{'}}_B(A)=P(A\cap B)$ su $(\mathrm{\Omega },𝒜)$, con $P{\text{'}}_B(\mathrm{\Omega })=P(B)$. Se $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ è uno spazio probabilizzato ($P(\mathrm{\Omega })=1$) e $B$ non è trascurabile ($P(B)\ne 0$), allora riscalando $P{\text{'}}_B$ a $P_B=\frac{1}{P(B)}P{\text{'}}_B$ si ottiene lo spazio probabilizzato $(\mathrm{\Omega },𝒜,P_B)$ delle probabilità condizionate da $B.$

Proprietà

La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B).$

Ossia, la probabilità che si verifichino sia $A$ sia $B$ è uguale alla probabilità che si verifichi $B$ moltiplicata per la probabilità che si verifichi $A$ supponendo che $B$ sia verificato.

Due eventi $A$ e $B$ sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti:

• $P(A\cap B)=P(A)P(B);$
• $P(A|B)=P(A);$
• $P(B|A)=P(B).$

Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato (anche detto complementare) si può usare la seguente formula:

$P(\mathrm{\neg }A|B)=1-P(A|B).$

Casi particolari

Se $A$ e $B$ sono eventi disgiunti, cioè se $A\cap B=\varnothing$, le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento $A$ implica l'evento $B$, cioè se $A\subset B$, allora la loro intersezione è $A,$ per cui $P(A\cap B)=P(A)$ e:

• $P(B|A)=\frac{P(A)}{P(A)}=1$ ($A$ implica $B$);
• $P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}$ ($B$ è necessario per $A$).

Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per $P(A|B)$ esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli ($A$) su casi possibili ($B$)".

Invece, per $P(B|A)$ otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.

Ulteriori definizioni

Il valore atteso condizionato $E[X|B]$ di una variabile aleatoria $X$ ad un evento $B$ è il valore atteso di $X$ calcolato sulle probabilità $P_B$ (cioè condizionate da $B$).

La probabilità di un evento $A$ può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta $X,$ originando una nuova variabile aleatoria, $Y=P(A|X)$, che per $X=x$ assume il valore $Y=P(A|x)$.

Applicazioni

Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica $P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$ del teorema della probabilità composta come

$P(A|B)=P(B|A)\frac{P(A)}{P(B)}.$

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove $P(A)$ è detta "probabilità a priori di $A$" e $P(A|B)$ "probabilità a posteriori di $A$".

Paradossi

Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di $P(A|B)$ con $P(A)$ o con $P(B|A).$

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

Bibliografia

• Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-1316794-6

Voci correlate

• Probabilità congiunta
• Indipendenza stocastica
• Inferenza bayesiana
• Teorema di Bayes
• Teorema della probabilità composta
• Valore atteso condizionato

Collegamenti esterni

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