Connettivo logico

Un connettivo logico o operatore logico (nel contesto dell'algebra di Boole, i connettivi logici sono detti anche operatori booleani), è un elemento grammaticale di collegamento che instaura fra due proposizioni A e B una qualche relazione che dia origine ad una terza proposizione C con un valore vero o falso, in base ai valori delle due proposizioni fattori ed al carattere del connettivo utilizzato.

Descrizione

I connettivi logici possono essere separati da parentesi tonde. Esistono regole di precedenza fra i connettivi logici (dimostrabili col semplice calcolo algebrico), analoghe a quelle esistenti fra le quattro operazioni elementari (secondo le quali la coppia di moltiplicazione e divisione, precedono somma e sottrazione): la negazione precede tutti gli altri connettivi, congiunzione e disgiunzione precedono sia l'implicazione che la doppia implicazione. Le regole di precedenza rendono in molti casi superfluo l'uso delle parentesi tonde, che possono tranquillamente essere omesse.

Operatore	Precedenza
$\mathrm{\neg }$	1
$\wedge$	2
$\vee$	3
$\to$	4
$\leftrightarrow$	5

Ognuna delle operazioni logiche suddette è efficacemente esplicata nella propria tabella della verità, la quale evidenzia i valori risultanti da tutte le possibili combinazioni esistenti fra le due proposizioni di partenza A e B, siano esse vere o false, utilizzando il connettivo dato. Le tavole di verità degli operatori logici sono state formalizzate per la prima volta nel Tractatus logico-philosophicus di Ludwig Wittgenstein.

Assunti di base della tavola di verità sono il principio di determinatezza e il principio di bivalenza, degli enunciati dichiarativi secondo il quale una proposizione può trovarsi in uno e un solo Stato di verità, e gli Stati di verità possibili che un enunciato può assumere sono soltanto due, "vero" oppure "falso". Entrambi i due principi citati non sono dimostrati né in via deduttiva (dal generale al particolare) né in via induttiva (dal caso particolare a quello generale), e nello stesso tempo non sono negati da nessuna delle logiche matematiche note; si applicano al singolo enunciato elementare atomico, non ulteriormente scomponibile, e non sono da confondere con principi equivalenti ma "binari", cioè che si applicano invece all'insieme di due o più enunciati legati da un connettivo logico: principio di non-contraddizione (più propriamente antinomia del mentitore) e principio del terzo escluso.

Non tutti gli enunciati sono di tipo dichiarativo ovvero atti ad assumere un valore di verità "vero" oppure "falso": già Aristotele affermava che la preghiera è un discorso né vero né falso, quindi irrilevante per la logica. Altro esempio di enunciati non dichiarativi sono quelli modali, caratterizzati dalle parole logiche: "può essere..", "deve necessariamente...", "credo che...", "so che..."; oppure il paradosso del mentitore: "il cretese Epimènide dice che tutti i cretesi sono bugiardi", "questa frase è falsa".

<imagemap> File:Logical connectives table.svg|380px|left|Tabella connettivi logici rect 399 2 542 39 input A rect 400 39 540 73 input B rect 400 128 542 706 output f(A,B) rect 3 128 398 163 X and ¬X rect 3 162 398 199 A and B rect 3 198 398 235 ¬A and B rect 4 234 399 273 B rect 3 273 398 309 A and ¬B rect 2 308 397 344 A rect 2 344 396 379 A xor B rect 2 379 397 415 A or B rect 3 419 396 454 ¬A and ¬B rect 3 453 395 489 A xnor B rect 3 489 396 525 ¬A rect 3 525 396 560 ¬A or B rect 3 563 397 601 ¬B rect 2 600 395 636 A or ¬B rect 2 634 398 671 ¬A or ¬B rect 3 670 397 706 X or ¬X desc bottom-left </imagemap>

<imagemap> File:Logical connectives Hasse diagram.svg|350px|right|Diagramma di Hasse rect 326 28 416 200 X or ¬X rect 81 233 166 409 ¬A or ¬B rect 260 231 349 409 A or ¬B rect 393 230 481 409 ¬A or B rect 574 232 663 408 A or B rect 13 436 103 617 ¬B rect 147 438 235 617 ¬A rect 279 440 368 616 A xor B rect 375 440 464 617 A xnor B rect 507 439 595 617 A rect 639 438 732 617 B rect 79 647 168 826 ¬A and ¬B rect 260 647 349 826 A and ¬B rect 392 646 482 826 ¬A and B rect 574 646 663 826 A and B rect 327 853 417 1035 X and ¬X desc bottom-right </imagemap> Template:Clear

Tipologie

I principali connettivi logici binari sono:

• la congiunzione logica e, in latino et, in logica booleana AND, indicata con il simbolo $\wedge$
• la disgiunzione inclusiva o (talvolta indicato come e/o), in latino vel, in logica booleana OR, indicata con il simbolo $\vee$
• la disgiunzione esclusiva o o o... o..., in latino aut, in logica booleana XOR, indicata dal simbolo $\dot{\vee }$ oppure $\equiv ̸$
• l'implicazione logica se ... allora ... indicata col simbolo $\Rightarrow$ oppure $\supset$
• la coimplicazione o doppia implicazione se e solo se indicata col simbolo $\iff$ oppure $\equiv$

Spesso si annovera inoltre fra i connettivi logici la negazione logica "non", indicata con il simbolo $\mathrm{\neg }$ la quale agisce però su un'unica proposizione, mentre gli altri connettivi logici si dicono appunto binari perché operano su almeno due proposizioni.

Bibliografia

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Voci correlate

• Algebra di Boole
• Congiunzione logica
• Mappa di Karnaugh
• Operazioni booleane sui poligoni
• Operazione bit a bit
• Porta logica

Collegamenti esterni

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