Principio dell'argomento

In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.

Enunciato

Sia $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$, e sia $\gamma$ una catena omologa a zero in $\mathrm{\Omega }$. Sia $f$ una funzione meromorfa su $\mathrm{\Omega }$, con un numero finito di zeri e poli, $z_1,\dots ,z_n\in \mathrm{\Omega }$, non appartenenti al supporto della curva $\gamma$. Allora

$$\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i\sum _{i=1}^n{\text{Ind}}_{\gamma }(z_i){\text{ord}}_{z_i}(f),$$dove ${\text{ord}}_{z_i}(f)=m_i\in \mathbb{Z}$ è l'ordine della funzione $f$ in $z_i$, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione $f$ centrata in $z_i$, per ogni $i=1,\dots ,n$.

Dimostrazione

Sia ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }:=\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }\{z_1,\dots ,z_n\}$. Allora la funzione $\frac{f^{\prime }}{f}$ è olomorfa in ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$. Se si proverà che ${\text{Res}}_{z_i}\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)={\text{ord}}_{z_i}(f)$, dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.

Consideriamo la serie di Laurent della funzione $f$ centrata in $z_i$, la quale, per semplicità, la scriviamo come $f(z)=(z-z_i{)}^{m_i}h(z)$, dove $m_i$ denota l'ordine della funzione $f$ nel punto $z_i$, ed $h$ è una funzione olomorfa in $z_i$ tale che $h(z_i)\ne 0$, per ogni $i=1,\dots ,n$. Quindi vale che

$$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{m_i(z-z_i{)}^{m_i-1}h(z)+(z-z_i{)}^{m_i}{h}^{\prime }(z)}{(z-z_i{)}^{m_i}h(z)}=\frac{m_i}{z-z_i}+\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)},$$dove la funzione $\frac{h^{\prime }}{h}$ è olomorfa in $z_i$, per ogni $i=1,\dots ,n$. Di conseguenza, ${\text{Res}}_{z_i}\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)=m_i={\text{ord}}_{z_i}(f)$, per ogni $i=1,\dots ,n$.

Corollario

Sia $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$, e sia $f$ una funzione meromorfa su $\mathrm{\Omega }$. Sia $\gamma$ una curva chiusa semplice in $\mathrm{\Omega }$ tale che l'interno di $\gamma$ sia contenuto in $\mathrm{\Omega }$, ed il supporto di $\gamma$ non contenga zeri o poli della funzione $f$. Allora$$\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N_0-N_{\mathrm{\infty }}),$$dove $N_0$ ed $N_{\mathrm{\infty }}$ indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva $\gamma$.

Collegamenti esterni

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