Campo irrotazionale

Template:F In analisi matematica e nel calcolo vettoriale un campo vettoriale $\overrightarrow{V}:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ si dice campo irrotazionale se il suo rotore è nullo:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}.$

Ricordando che il rotore può essere espresso come:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}=\text{det }\left(\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ V_1& V_2& V_3\end{array}\right)$

dove il determinante è formale (cioè sviluppabile con il teorema di Laplace) solo secondo la prima riga, la prima equazione può essere sviluppata come:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}=(\frac{\partial V_3}{\partial y}-\frac{\partial V_2}{\partial z},\frac{\partial V_1}{\partial z}-\frac{\partial V_3}{\partial x},\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y}).$

Il rotore di un campo vettoriale nel piano è dato da

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}=(0,0,\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y}),$

pertanto il campo è irrotazionale se

$\frac{\partial V_2}{\partial x}=\frac{\partial V_1}{\partial y}.$

Un campo vettoriale che ha la proprietà di essere irrotazionale non è necessariamente conservativo. Infatti la condizione di irrotazionalità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la conservatività: bisogna tenere conto anche dell'insieme ove il campo è definito tramite il lemma di Poincaré. Tuttavia un campo irrotazionale definito in un aperto di ${ℝ}^2$ o di ${ℝ}^3$ localmente è sempre conservativo perché si può sempre scegliere un intorno abbastanza piccolo da far parte dell'insieme in cui il campo sia conservativo. Questo è vero perché la irrotazionalità, come la conservatività, sono proprietà differenziali e quindi si tratta di vedere per quale approssimazione vale la differenziazione del campo.

Jacobiana

Un'altra condizione di irrotazionalità è data dalla costruzione della jacobiana del campo vettoriale:

$\overline{J}\cdot \overline{V}(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial V_1}{\partial x}& \frac{\partial V_1}{\partial y}& \frac{\partial V_1}{\partial z}\\ \frac{\partial V_2}{\partial x}& \frac{\partial V_2}{\partial y}& \frac{\partial V_2}{\partial z}\\ \frac{\partial V_3}{\partial x}& \frac{\partial V_3}{\partial y}& \frac{\partial V_3}{\partial z}\end{array}\right)$

allora la condizione espressa tramite l'irrotazionalità del campo o la definizione qui data di rotore, significa che la jacobiana del campo vettoriale deve essere simmetrica.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Rotore (matematica)
• Gradiente
• Campo vettoriale solenoidale