Polinomi di Fibonacci

Template:F In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:

F_{n} (x) = {\begin{matrix} 1, & se n = 1, \\ x, & se n = 2, \\ x F_{n - 1} (x) + F_{n - 2} (x), & se n \geq 3 . \end{matrix}

I primi polinomi di Fibonacci sono:

F_{1} (x) = 1;

F_{2} (x) = x;

F_{3} (x) = x^{2} + 1;

F_{4} (x) = x^{3} + 2 x;

F_{5} (x) = x^{4} + 3 x^{2} + 1;

F_{6} (x) = x^{5} + 4 x^{3} + 3 x .

Altre espressioni

La formula esplicita per l' $n$ -esimo polinomio di Fibonacci è:

F_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{[\frac{n - 1}{2}]} (\binom{n - k - 1}{k}) x^{n - 2 k - 1},

dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.

I coefficienti del polinomio $n$ -esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:

si dispongono i numeri del triangolo incolonnati con allineamento a sinistra;
si prende il primo elemento della $n$ -esima riga;
si prende il secondo elemento della $n$ -esima riga (se esiste);
da questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.

Calcolando i polinomi in $x = 1$ , che è lo stesso che sommare i coefficienti di ciascun polinomio, si ottengono i numeri di Fibonacci.
I polinomi di Fibonacci $F_{n} (x)$ e $F_{m} (x)$ sono divisibili fra loro se e solo se lo sono $n$ e $m$ .
Le radici del polinomio $F_{n} (x)$ sono date dalla seguente formula:

2 i \cos (\frac{k π}{n}), k = 1, 2, \dots, n - 1 .

Il polinomio $F_{n} (x)$ è irriducibile sul campo $ℚ$ dei numeri razionali se e solo se $n$ è primo, inoltre, in tal caso, le sue radici si ottengono moltiplicando per $\pm 2 i$ la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.