Operazione interna

In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme $X$ è una funzione che ad ogni n-upla di $X^n$ associa un elemento dello stesso $X$.

Definizione

Sia $X$ un insieme non vuoto e sia $n\in \mathbb{N}$. Si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$ dal prodotto cartesiano $X^n$ a valori in $X$:

$*:X^n\to X$

Equivalentemente, sia $m\in \mathbb{N}$, si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$:

$*:X_1\times \dots \times X_{m-1}\to X_m$

se $X_1=\dots =X_{m-1}=X_m=X$.

Se $n=2$, l'operazione è detta operazione binaria interna su $X$ e l'immagine della coppia di punti $(x,y)$ si denota preferibilmente con la notazione di operazione $x*y$ piuttosto che con la notazione funzionale $*(x,y)$.

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione $*$ sia o meno interna su un insieme $X$ (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia $(X,*)$ può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia $(X,*)$ sia una struttura algebrica è che l'operazione $*$ verifichi la proprietà di chiusura su $X$.

Operazione esterna

Un'operazione non interna su un insieme $X$ si dice operazione esterna.

Esempi

Operazioni interne

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

$\wedge :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3$

$(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\mapsto \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}$

Operazioni esterne

Il prodotto scalare è un'operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

$\cdot :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ$

$(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\mapsto \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale ${ℝ}^3$ e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

$\cdot :ℝ\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3$

$(k,\overrightarrow{v})\mapsto k\overrightarrow{v}$

in quanto se la si pensa come funzione

$\cdot :A\times B\to C$

si ha che anche in questo caso gli insiemi $A$, $B$ e $C$ non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

$\cdot :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ$

$(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{z})\mapsto \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{z}$

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su ${ℝ}^3$.

Bibliografia

• Algebra, S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed.: Mursia.

Voci correlate

• Gruppoide
• Operazione aritmetica
• Operazione binaria
• Proprietà di chiusura
• Struttura algebrica