Prodotto misto

Template:F Nel calcolo vettoriale un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori dello spazio tridimensionale.

Prodotto triplo

Il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi

Il prodotto misto più noto è il prodotto triplo di tre vettori a, b, c. Si tratta di un'espressione in cui compare un prodotto scalare e un prodotto vettoriale, ad esempio:

$(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜$

Il risultato è uno scalare il cui valore assoluto non dipende né dall'ordine dei tre vettori né dall'ordine delle due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori (oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori). Come conseguenza di questa proprietà, supponendo che nessuno dei tre vettori sia nullo, il prodotto triplo è pari a zero se e solo se i vettori sono complanari; per questo motivo, e poiché gode della proprietà commutativa a meno del segno, è comune usare il prodotto triplo come test di complanarità.

Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine dei vettori e delle due operazioni. Una permutazione ciclica dei tre vettori coinvolti nel prodotto misto, o lo scambio dei due operatori, non ne modifica il risultato (e dunque il segno):

$(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=(𝐛\times 𝐜)\cdot 𝐚=(𝐜\times 𝐚)\cdot 𝐛$

Un permutazione pari coincide con una permutazione ciclica e una singola permutazione (dispari) cambia il segno:

$(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=-(𝐛\times 𝐚)\cdot 𝐜=(𝐜\times 𝐚)\cdot 𝐛$

Questa proprietà può essere resa in modo formale avvalendosi delle proprietà del determinante. Infatti

$(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)$

Doppio prodotto vettoriale

Generalmente, un prodotto misto in cui compaiono due o più prodotti vettoriali può essere trasformato nella somma di vari prodotti misti contenenti al più un prodotto vettoriale. Ad esempio l'espressione

$𝐚\times 𝐛\times 𝐜$

può essere semplificata, imponendo un'uguaglianza del tipo

$𝐚\times 𝐛\times 𝐜=A𝐚(𝐛\cdot 𝐜)+B𝐛(𝐜\cdot 𝐚)+C𝐜(𝐚\cdot 𝐛)$

con incognite A, B e C. Poiché il vettore a × (b × c) appartiene al piano formato dai vettori b e c, vale A = 0. Ponendo a = b = c = i si determina che A + B + C = 0; mentre, ponendo a = b = i e c = j si determina che C = -1. Di conseguenza è B = 1, e si è ottenuta la seguente uguaglianza:

$𝐚\times (𝐛\times 𝐜)=𝐛(𝐜\cdot 𝐚)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛)$.

Analogamente, vale l'uguaglianza seguente:

$(𝐚\times 𝐛)\cdot (𝐚\times 𝐜)=a^2(𝐛\cdot 𝐜)-(𝐚\cdot 𝐛)(𝐚\cdot 𝐜)$

dove a² = a · a.

Voci correlate

• Prodotto scalare
• Prodotto vettoriale
• Simbolo di Levi-Civita

Collegamenti esterni

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