Teorema di Hahn-Kolmogorov

In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.

Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet, ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn e Kolmogorov. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.

Enunciato

Sia $𝐀$ un'algebra di sottoinsiemi di $X$ e ${\mu }_0:𝐀\to [0,\mathrm{\infty }]$ una funzione σ-additiva, nel senso che se $\{A_i\}$ è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di $𝐀$ e l'unione di tutti gli $A_i$ sta in $𝐀$ allora:

${\mu }_0\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}A\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)$

e tale che ${\mu }_0(\mathrm{\varnothing })=0$ (si dice che ${\mu }_0$ è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).

Indicata con $M(𝐀)$ la σ-algebra generata da $𝐀$, esiste una misura $\mu$ su $M(𝐀)$ che estende ${\mu }_0$, cioè tale che ristretta ad $𝐀$ è uguale a ${\mu }_0$.

Se ${\mu }_0$ è sigma-finita, cioè esiste una famiglia numerabile $\{A_i\}\subset 𝐀$ che ricopre $X$, con ${\mu }_0(A_i)<\mathrm{\infty }$ per ogni $i$, allora l'estensione è unica.

Dimostrazione

La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna in modo da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad $𝐀$ è uguale a ${\mu }_0$ e che gli elementi di $𝐀$ sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui ${\mu }_0$ è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.

Esistenza

Misura esterna e teorema di Carathéodory

La funzione ${\mu }^{*}:P(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ costruita a partire da ${\mu }_0$ è definita come:

${\mu }^{*}(E):=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i):\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset 𝐀,E\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\}$

e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo $(X,𝐌,\mu )$, dove:

$𝐌:=\{B\subset X:{\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\cap B)+{\mu }^{*}(E\cap B^c)\mathrm{\forall }E\subset X\}$

è una σ-algebra e $\mu$ è la restrizione di ${\mu }^{*}$ a $𝐌$.

μ* ristretta ad A è uguale a μ₀

Si vuole dimostrare che per ogni $A$ in $𝐀$ vale:

${\mu }_0(A)={\mu }^{*}(A):=\inf \sum {\mu }_0(A_i)$

dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili $\{A_i\}\subset 𝐀$ che ricoprono $A$. In particolare, prendendo la famiglia $\{A,\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing },\dots \}$ si ha subito:

${\mu }^{*}(A)\le {\mu }_0(A)$

Sia $\{A_i\}\subset 𝐀$ una famiglia che ricopre $A$. L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata $\{A_i\}$ si può spezzare ${\mu }_0(A)$ sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di ${\mu }_0$, da lì in poi si tratta di sfruttare semplici maggiorazioni. Si ricorda che ad ogni famiglia $\{A_i\}$ è associata una famiglia $\{B_i\}$ di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n $A_i$ è uguale a quella dei primi n $B_i$, questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo $B_i\equiv A_i-(A_{i-1}\cup \dots \cup A_1)$. Per quanto detto l'unione di tutti i $B_i$ contiene $A$, quindi:

${\mu }_0(A)={\mu }_0(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(A\cap B_i))=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A\cap B_i)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(B_i)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)$

dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di ${\mu }_0$. Ora, questo vale per qualsiasi $\{A_i\}\subset 𝐀$ che ricopre $A$, quindi:

${\mu }_0(A)\le {\mu }^{*}(A)$

M contiene A

Dimostrare che $A\in 𝐀$ sta in $𝐌$ significa dimostrare che:

${\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap A^c)$

qualsiasi sia $E\subset X$. Per farlo si approssima ${\mu }^{*}(E)$ usando una famiglia $\{A_i\}\subset 𝐀$ che copre $E$, poi con $A$ si spezza l'approssimazione invece che $E$, così da poter usare l'additività di ${\mu }_0$. Nel dettaglio, per ogni $ϵ>0$ esiste una famiglia $\{A_i\}$ che copre $E$ e tale che:

${\mu }^{*}(E)+ϵ\ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i\cap A)+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(A_i\cap A^c)\ge {\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap A^c)$

dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo $A_i$ come $(A_i\cap A)\cup (A_i\cap A^c)$ e usando l'additività di ${\mu }_0$, mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che $\{A_i\cap A\}$ è un ricoprimento di $E\cap A$, e analogamente per $E\cap A^c$. Si nota che essendo $ϵ$ arbitrario:

${\mu }^{*}(E)\ge {\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap A^c)$

L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di ${\mu }^{*}$:

${\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}((E\cap A)\cup (E\cap A^c))\le {\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap A^c)$

Conclusione

Ricapitolando, partendo da ${\mu }_0$ si è costruita una misura esterna ${\mu }^{*}$ che ristretta alla σ-algebra $𝐌$ è una misura $\mu$. Si è dimostrato che l'algebra $𝐀$ è contenuta in $𝐌$ e che $\mu$ sugli elementi di $𝐀$ si comporta come la premisura ${\mu }_0$ da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si nota che essendo $M(𝐀)$ la più piccola σ-algebra contenente $𝐀$, ed $𝐀\subset 𝐌$, si ha $M(𝐀)\subset 𝐌$. Se con abuso di notazione si continua a denotare con $\mu$ la misura su $𝐌$ ristretta ad $M(𝐀)$, lo spazio di misura $(X,M(𝐀),\mu )$ è, per quanto detto, quello cercato.

In generale, mentre $(X,M,\mu )$ è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio $(X,M(𝐀),\mu )$ può benissimo non esserlo (un esempio noto si ha quando $M(𝐀)$ è la σ-algebra dei boreliani di ${ℝ}^n$ e $\mu$ è la misura di Lebesgue).

Unicità

In questa parte si suppone che ${\mu }_0$ sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato. Sia $\nu$ una misura su $M(𝐀)$ che estende ${\mu }_0$, mentre si continua ad indicare con $\mu$ la misura, sempre su $M(𝐀)$, costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia $\{A_i\}\subset 𝐀$ una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è $X$. Si può supporre che gli $A_i$ siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia $\{B_i\}$ con $B_i\equiv A_i-(A_{i-1}\cup \dots \cup A_1)$ al posto di $A_i$ ). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile $A$ se e solo se concordano su tutte le intersezioni $A\cap A_i$, perché in questo caso sarebbe:

$\mu (A)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A\cap A_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A\cap A_i)=\nu (A)$

Ci si è ridotti a dover dimostrare che se $B\in 𝐀$ ha misura finita e $A\in M(𝐀)$ è contenuto in $B$, allora $\mu (A)=\nu (A)$. Per confrontare le due misure, si consideri una famiglia $\{C_i\}\subset 𝐀$ che ricopre $A$. Si ha:

$A\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_i$

da cui:

$\nu (A)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (C_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_0(C_i)$

e quindi $\nu (A)\le \mu (A)$ perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie $\{C_i\}\subset 𝐀$ che coprono $A$ e $\mu (A)$ è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche $\nu (B-A)\le \mu (B-A)$. Ricordando che $B$ sta in $𝐀$ e spezzandolo come $(B-A)\cup A$ si conclude:

$\mu (B)=\nu (B)=\nu (B-A)+\nu (A)\le \nu (B-A)+\mu (A)\le \mu (B)$

cioè:

$\nu (B-A)+\nu (A)=\nu (B-A)+\mu (A)$

da cui:

$\nu (A)=\mu (A)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Algebra di insiemi
• Misura (matematica)
• Misura esterna
• Teorema di Carathéodory (teoria della misura)

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