Misura discreta

In matematica, più precisamente nella teoria della misura, una misura sulla retta reale è detta misura discreta (rispetto alla misura di Lebesgue) se il suo supporto è al più un insieme numerabile.

Definizione e proprietà

Una misura $\mu$ definita sugli insiemi Lebesgue misurabili della retta reale a valori $[0,\mathrm{\infty }]$ è detta essere discreta se esiste una successione di numeri:

$s_1,s_2,\dots$

tale che:

$\mu (ℝ\mathrm{\setminus }\{s_1,s_2,\dots \})=0$

L'esempio più semplice di misura discreta sulla retta reale è la delta di Dirac $\delta$. Si ha che $\delta (ℝ\mathrm{\setminus }\{0\})=0$ e $\delta (\{0\})=1$.

Più generalmente, se $s_1,s_2,\dots$ è una successione di numeri reali, $a_1,a_2,\dots$ una sequenza di numeri in $[0,\mathrm{\infty }]$ della stessa lunghezza, allora si può considerare la misura di Dirac ${\delta }_{s_i}$ definita come:

${\delta }_{s_i}(X)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ if }{s}_i\in X\\ 0& \text{ if }{s}_i\in ̸X\end{array}$

per ogni insieme Lebesgue misurabile $X$. Quindi, la misura:

$\mu =\sum _i{a}_i{\delta }_{s_i}$

è una misura discreta. In effetti, si può dimostrare che ogni misura discreta sulla retta reale ha questa forma per una scelta appropriata di $s_1,s_2,\dots$ e $a_1,a_2,\dots$.

Estensioni

La nozione di misura discreta può essere estesa al caso più generale degli spazi misurabili. Dato uno spazio misurabile $(X,\mathrm{\Sigma }),$ e due misure $\mu$ and $\nu$ su di esso, $\mu$ si dice discreta rispetto alla misura $\nu$ se esiste un sottoinsieme al più numerabile $S$ di $X$ tale che:

• Tutti i singoletti $\{s\}$ con $s$ in $S$ sono misurabili (che implica che ogni sottoinsieme di $S$ è misurabile)
• $\nu (S)=0$
• $\mu (X\mathrm{\setminus }S)=0$

Si noti che i primi due requisiti sono sempre soddisfatti per un sottoinsieme al più numerabile della retta reale se $\nu$ è la misura di Lebesgue, quindi non sono necessarie nella definizione data inizialmente.

Come nel caso delle misure sulla retta reale, una misura $\mu$ su $(X,\mathrm{\Sigma })$ è discreta rispetto ad un'altra misura $\nu$ sullo stesso spazio se e solo se $\mu$ ha la forma:

$\mu =\sum _i{a}_i{\delta }_{s_i}$

dove $S=\{s_1,s_2,\dots \}$ e il singoletto $\{s_i\}$ sono in $\mathrm{\Sigma }$, e la loro $\nu$-misura è 0.

Si può anche definire il concetto di discretezza per le misure con segno. Quindi al posto delle condizioni 2 e 3 sopra si deve chiedere che $\nu$ sia zero su tutti i sottoinsiemi misurabili $S$ e $\mu$ deve essere zero sui sottoinsiemi misurabili di $X\mathrm{\setminus }S$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Delta di Dirac
• Misura (matematica)
• Misura deltiforme
• Supporto (matematica)

Collegamenti esterni

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