Misura deltiforme

Template:S In teoria della misura, la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia $X$ un insieme (con una sigma algebra di suoi sottoinsiemi), $E\in X$ un insieme misurabile e $x\in X$. La misura deltiforme è la misura ${\delta }_x$ su $X$ tale per cui la misura di $E$ è 1 se $x\in E$ e 0 altrimenti:

${\delta }_x(E)=\{\begin{array}{cc}0& x\in ̸E\\ 1& x\in E\end{array}$

Fa la stessa cosa della funzione indicatrice.

La misura deltiforme di un insieme $E$ può anche essere scritta:

${\delta }_x(E)=\underset{E}{\int }d{\delta }_x$

Usando la misura di Lebesgue e la funzione generalizzata delta di Dirac $\delta$ si può anche scrivere:

${\delta }_x(E)=\underset{E}{\int }\delta (y-x)d\mu (y)$

In modo analogo l'integrale di una funzione $f$ rispetto alla misura deltiforme può essere scritto:

$\underset{X}{\int }f(y)d{\delta }_x=\underset{X}{\int }f(y)\delta (y-x)d\mu (y)=f(x)$

Il supporto della misura deltiforme ${\mu }_{\delta }$ è il singoletto $\{x_0\}$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Delta di Dirac
• Funzione indicatrice
• Misura (matematica)
• Misura discreta

Collegamenti esterni

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