Matrice intera
In matematica, una matrice intera è una matrice i cui elementi sono tutti numeri interi.
Alcuni esempi sono le matrici binarie, la matrice zero, la matrice identità e le matrici di adiacenza utilizzate nella teoria dei grafi. Le matrici intere trovano frequente applicazione in combinatoria.
Esempi
Le matrici
- e
sono esempi di matrici intere.
Proprietà
L'invertibilità delle matrici intere è in generale numericamente più stabile di quella delle matrici non intere. Il determinante di una matrice intera è esso stesso un numero intero, quindi il valore numericamente più piccolo possibile del determinante di una matrice intera invertibile è uno, quindi nei casi in cui esistono, le matrici inverse non diventano eccessivamente grandi (vedi condizione numero ). I teoremi della teoria delle matrici che deducono le proprietà dai determinanti evitano così i problemi indotti da matrici con valori reali o in virgola mobile mal condizionate (ovvero con determinanti quasi nulli).
L'inversa di una matrice intera è ancora una matrice intera se e solo se il determinante di è uguale a o . Matrici intere con determinante formano il gruppo , che ha vaste applicazioni in aritmetica e geometria . Tale gruppo, per , è strettamente correlato al gruppo modulare.
L'intersezione delle matrici intere con il gruppo ortogonale è il gruppo delle matrici di permutazione con segno .
Il polinomio caratteristico di una matrice intera ha coefficienti interi. Poiché gli autovalori di una matrice sono le radici di questo polinomio, gli autovalori di una matrice intera sono interi algebrici . In dimensione minore di 5, possono quindi essere espressi da radicali che coinvolgono numeri interi.
Le matrici intere sono talvolta denominate da alcuni autori matrici integrali; tuttavia l'uso di tale denominazione è sconsigliabile in quanto potenzialmente foriera di confusione.