Intero algebrico

Template:F In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo: $x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ dove i coefficienti $a_{i}$ sono tutti numeri interi.

Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. La chiusura algebrica dei numeri razionali è formata dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali. L'insieme dei numeri algebrici $𝒜$ e l'insieme dei numeri trascendenti $𝒯$ formano il campo complesso, cioè

ℂ = 𝒜 \cup 𝒯 .

Quindi un intero algebrico è un tipo particolare di numero algebrico. L'insieme degli interi algebrici è della forma

ℐ = {α \in ℂ | \exists f (x) \in ℤ [x], f (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}, f (α) = 0, a_{i} \in ℤ, n \in ℕ} \subseteq 𝒜,

dove $ℤ [x]$ indica l'anello dei polinomi formato dall'insieme di polinomi in una o più indeterminate con coefficienti in $ℤ .$

L'insieme $ℐ$ è un sottoanello del campo complesso.^[1]

Esempi

I numeri interi sono interi algebrici, perché radici del polinomio $f (x) = x - n$ .
I numeri razionali non interi non sono interi algebrici: non sono infatti radici di un polinomio monico a coefficienti interi.
Se $q$ è una radice dell'unità, gli interi algebrici contenuti nel campo ciclotomico $ℚ (q)$ sono precisamente gli elementi in $ℤ [q]$ , ovvero tutti i numeri che possono essere scritti come combinazione lineare di potenze di $q$ a coefficienti interi:

a_{k} q^{k} + \dots + a_{1} q + a_{0}