Lista delle serie matematiche

Questa lista di serie contiene formule per sommatorie finite o infinite. Può essere usata con altri strumenti per valutare sommatorie.

Somme di potenze

• $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}={\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)}^2$
• $\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
• $\sum _{i=0}^n{i}^s=\frac{(n+1{)}^{s+1}}{s+1}+\sum _{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(n+1{)}^{s-k+1}$

dove $B_k$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli.

• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^{-s}=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta (s)$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}=\zeta (2)$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}=\frac{{\pi }^4}{90}=\zeta (4)$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^6}=\frac{{\pi }^6}{945}=\zeta (6)$

dove $\zeta (s)$ è la zeta di Riemann.

Serie di potenze

Somma infinita (per $|x|<1$)	Somma finita
$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k=\frac{1}{1-x}$	$\sum _{k=m}^n{x}^k=\frac{x^{n+1}-x^m}{x-1},\text{con }x\ne 1.$
$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2k}=\frac{1}{1-x^2}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}i{x}^i=\frac{x}{(1-x{)}^2}$	$\sum _{i=1}^{n}i{x}^i=x\frac{1-x^n}{(1-x{)}^2}-\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^2{x}^i=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$	$\sum _{i=1}^n{i}^2{x}^i=\frac{x(1+x-(n+1{)}^2{x}^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2{x}^{n+2})}{(1-x{)}^3}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^3{x}^i=\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x{)}^4}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^4{x}^i=\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x{)}^5}$

Con denominatori semplici

• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i}=\log \left(\frac{1}{1-x}\right),\text{per }|x|\le 1,x=1$
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i\frac{x^i}{i}=\log (1+x),\text{per }|x|<1$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{2i+1}{x}^{2i+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\arctan x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i+1}}{2i+1}=\mathrm{artanh}x,\text{per }|x|<1$

Con denominatori fattoriali

Molte serie che sono calcolate per mezzo del teorema di Taylor hanno coefficienti frazionari contenenti fattoriali.

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}=e^x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}i\frac{x^i}{i!}=x{e}^x$ (si veda media della distribuzione di Poisson)
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^2\frac{x^i}{i!}=(x+x^2)e^x$ (si veda momento secondo della distribuzione di Poisson)
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^3\frac{x^i}{i!}=(x+3x^2+x^3)e^x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^4\frac{x^i}{i!}=(x+7x^2+6x^3+x^4)e^x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i+1)!}{x}^{2i+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sin x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i)!}{x}^{2i}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\sinh x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\cosh x$

Con denominatori fattoriali modificati

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=\arcsin x,\text{per }|x|<1$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i(2i)!}{4^i(i!{)}^2(2i+1)}{x}^{2i+1}=\mathrm{arsinh}x,\text{per }|x|<1$

Serie binomiali

Serie binomiali (include la radice quadrata per $\alpha =1/2$ e la serie infinita geometrica per $\alpha =-1$):

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n=\sqrt{1+x},\text{per}|x|<1$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n=\frac{1}{1+x},\text{per }|x|<1$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k=(1+x{)}^n$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}\cdot b^k=(a+b{)}^n$
• $\sum _{\alpha =\beta }^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -1}{\beta -1})x^{\alpha -\beta }=\frac{1}{(1-x{)}^{\beta }}$
• $\sum _{\alpha =\beta }^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -1}{\beta -1})(1-x{)}^{\alpha -\beta }\cdot x^{\beta }=1$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n=(1+x{)}^{\alpha },\text{per }|x|<1\text{ e }\alpha \text{ complesso}$

con il coefficiente binomiale generalizzato $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n}{i})x^i=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i})x^i=\frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i})x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i+n}{i})x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}{\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)}^n$

Coefficienti binomiali

• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^n$
• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^i=(a+b{)}^n$
• $\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=0$
• $\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$
• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n+1}{n})$
• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s}{n})$

Funzioni trigonometriche

Somma del seno e del coseno che si annullano nella serie di Fourier.

• $\sum _{k=1}^n\sin \left(\frac{k\pi }{n}\right)=\cot \left(\frac{\pi }{2n}\right)$
• $\sum _{k=1}^n\cos \left(\frac{k\pi }{n}\right)=-1$

Funzioni razionali

• $\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b}{n^2-b^2}=\sum _{n=1}^{2b}\frac{1}{2n}$

Voci correlate

• Serie (matematica)
• Tavola degli integrali definiti
• Sommatoria
• Serie di Taylor
• Teorema binomiale