Limite di funzioni a più variabili

In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo:

$f:X\to {ℝ}^m$

dove $X$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo $n$-dimensionale ${ℝ}^n$.

Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

Definizione

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione $f:X\to {ℝ}^m$ definita su un insieme $X$ di ${ℝ}^n$ ha limite $l$ in un punto di accumulazione $x_0$ per $X$ se per ogni numero reale $ϵ>0$ esiste un numero reale $\delta >0$ tale che:

$\Vert f(x)-l\Vert <ϵ$ per ogni $x$ in $X$ con $0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$.

La definizione fa uso della norma per vettori in ${ℝ}^n$ e di una notazione vettoriale compatta per il punto $x$. Se esiste il limite $l$, questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con:

$l=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in ${ℝ}^2$:

$l=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$

Componenti

Può risultare utile scrivere le componenti $f_1,f_2,\dots f_m$ della funzione $f$ e notare che la nozione:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$

è equivalente a:

$\underset{𝐱\to {𝐱}_{\mathrm{𝟎}}}{\lim }{f}_1(𝐱)=l_1$

$⋮$

$\underset{𝐱\to {𝐱}_{\mathrm{𝟎}}}{\lim }{f}_m(𝐱)=l_m$

dove $l=(l_1,\dots ,l_m)$.

Esempio

Il limite seguente non esiste:

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Infatti si ottengono valori diversi del limite avvicinandosi al punto $(0,0)$ da direzioni diverse. Ponendo $y=0$ e calcolando il limite destro, si ottiene:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}}=1$

Mentre sulla retta $x=0$ si ricava:

$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{0}{\sqrt{0^2+y^2}}=0$

Nel caso in più variabili la "direzione", ovvero la curva lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

Calcolo

Per calcolare il limite di una funzione di due variabili $z=f(x,y)$ in un punto $(x_0,y_0)$, un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:

$\{\begin{array}{c}x=x_0+\rho \cos \theta \\ y=y_0+\rho \sin \theta \end{array}$

e si compone la funzione:

$f(x,y)=F(x_0+\rho cos\theta ,y_0+\rho \sin \theta )$

Inoltre vale il teorema:

$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=\underset{\rho \to 0}{\lim }F(x_0+\rho \cos \theta ,y_0+\rho \sin \theta )=L$

in modo però uniforme rispetto a $\theta$, cioè l'ampiezza dell'intervallo di $\rho$ tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da $\theta$.

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per $(x_0,y_0)$, cioè, all'avvicinarsi a $(x_0,y_0)$, secondo diverse direzioni:

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$

componendo la funzione $f(x,y)=F[x(t),y(t)]$

$\underset{t\to t_0}{\lim }F[x(t),y(t)]=L$

dove $(x_0,y_0)=(x(t_0),y(t_0))$.

In generale, con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano $(x_0,y_0)$; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Limite (matematica)
• Limite di una funzione