Teorema di unicità del limite

Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi. Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti. Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che

Una successione $\{a_n\}$ di numeri reali non può avere due limiti distinti.

In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.

Dimostrazione

Supponiamo che $l_1,l_2$ siano limiti (finiti; in verità, si può facilmente eliminare tale restrizione) della successione $\{a_n\}$. Mostreremo che $l_1=l_2$.

Per la definizione di limite, per ogni $\epsilon >0$ esistono $N_1$ ed $N_2$ tali che per ogni $i>N_1$ è vera $|a_i-l_1|<\epsilon$, e per ogni $i>N_2$ è vera $|a_i-l_2|<\epsilon$ . Sia $N$ il massimo tra $N_1$ e $N_2$. Allora per ogni $i>N$ abbiamo

$|l_1-l_2|\le |l_1-a_i|+|a_i-l_2|<2\epsilon$

per la disuguaglianza triangolare. Quindi $|l_1-l_2|<2\epsilon$ per ogni $\epsilon >0$, e quindi $|l_1-l_2|=0$. Quindi $l_1=l_2$.

Generalizzazioni

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico. Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.

Funzioni

Enunciato

Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che

Una funzione $f:X\to ℝ$ definita su un intervallo aperto $X$ dei numeri reali non può avere due limiti distinti in un punto $x_0$ di accumulazione per $X$.

In altre parole, se la funzione ha limite in $x_0$, questo è unico.

Dimostrazione

Supponiamo che $l_1,l_2$ siano limiti della funzione in $x_0$. Mostreremo che $l_1=l_2$, ragionando per assurdo e supponendo quindi che $l_1$ e $l_2$ siano distinti. Allora esistono due intorni $V_1$ di $l_1$ e $V_2$ di $l_2$ disgiunti.

Per definizione di limite, esistono due intorni $U_1$ e $U_2$ di $x_0$ per cui vale:

$f(x)$ appartiene a $V_1$ per ogni $x$ in $U_1\cap X$ diverso da $x_0$,

$f(x)$ appartiene a $V_2$ per ogni $x$ in $U_2\cap X$ diverso da $x_0$.

L'insieme $U_1\cap U_2$ è un altro intorno di $x_0$, quindi contiene un punto $x$ di $X$ diverso da $x_0$ perché $x_0$ è punto di accumulazione per $X$. Per questo punto, $f(x)$ è contemporaneamente in $V_1$ e $V_2$, che però sono disgiunti: questo è assurdo.

Generalizzazioni

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione $f:X\to Y$ fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo ${ℝ}^n$ o un qualsiasi suo sottoinsieme. Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l'ipotesi che il codominio $Y$ sia di Hausdorff.

Osservazione

L'ipotesi nell'enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come ${ℝ}^n$ con l'usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema. Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l'unicità del limite. Basti vedere quest'esempio:

Sia $X=ℝ$ con la topologia euclidea, mentre $Y=(ℝ,\mathrm{T})$ con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre; sia $f:X\to Y,f(x)=x^2$. Allora la funzione ammette infiniti limiti, in particolare:

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=a$, per ogni $a\le 0$.

Infatti, scelto un qualsiasi $a\le 0$, i suoi intorni sono gli insiemi del tipo $[a-r,+\mathrm{\infty })$, con $r$ > 0, dunque essi contengono l'immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli $[-\epsilon ,\epsilon ]$, restringendo opportunamente il raggio $\epsilon$.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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