Lemma di Nakayama

Il lemma di Nakayama è un teorema di grande importanza nello studio degli anelli commutativi unitari, in particolare degli anelli locali; esso dà informazioni sul rapporto tra il radicale di Jacobson di un anello e i suoi moduli finitamente generati.

Prende il nome dal matematico giapponese Tadashi Nakayama.

Enunciato

Il lemma di Nakayama afferma che, se $I$ è un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di un anello $A$ e $M$ è un $A$-modulo finitamente generato tale che $IM=M$, allora $M$ è il modulo nullo.

Da questo seguono due importanti conseguenze ($I$ è sempre un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di $A$ e $M$ un modulo finitamente generato):

• se $N$ è un sottomodulo di $M$ tale che $N+IM=M$, allora $N=M$;
• se $m_1,\dots ,m_n$ sono elementi di $M$ le cui immagini generano $M/IM$, allora $m_1,\dots ,m_n$ generano $M$.

Il primo di questi due risultati si ottiene applicando il lemma di Nakayama a $M/N$, mentre il secondo si ottiene applicando il precedente ad $M$ e al sottomodulo $N$ generato dagli $m_i$.

Un enunciato più generale, a volte chiamato lemma di Nakayama, afferma che, se $I$ è un (qualsiasi) ideale di $A$ e $M$ un $A$-modulo finitamente generato tale che $IM=M$, allora esiste un $r$ tale che $r-1\in I$ e $rM=0$.

Dimostrazione

La dimostrazione del lemma di Nakayama è spesso effettuata a partire dal teorema di Cayley-Hamilton, che afferma che, se $\varphi :M⟶M$ è un endomorfismo tale che $\varphi (M)\subseteq IM$, allora esistono degli elementi $m_j\in I$ tali che l'endomorfismo

${\varphi }^n+m_{n-1}{\varphi }^{n-1}+\cdots +m_1\varphi +m_0$

è nullo (dove ${\varphi }^k$ indica la composizione di $\varphi$ con sé stesso $k$ volte).

Se ora $IM=M$, si può prendere come $\varphi$ l'identità su $M$: questo implica che l'elemento $1+m_{n-1}+\cdots +m_1+m_0$ è l'elemento $r$ cercato, perché la moltiplicazione per $r$ diventa l'endomorfismo nullo, ovvero $rM=0$.

Se ora $I$ è contenuto nel radicale di Jacobson ed $i\in I$, allora $1+i$ è un elemento invertibile dell'anello; in particolare, l'elemento $r$ appena trovato sarà invertibile, e dunque anche $M$ dovrà essere il modulo nullo.

Anelli locali

Il lemma è particolarmente utile quando l'anello $A$ è locale, in quanto in questo caso il radicale di Jacobson coincide col suo ideale massimale $𝔪$.

Se l'anello è anche noetheriano, $𝔪$ stesso può essere visto come un $A$-modulo finitamente generato: se $A$ non è un campo (ovvero $𝔪\ne 0$) il lemma di Nakayama implica che ${𝔪}^2\ne 𝔪$, e che la sua dimensione (come spazio vettoriale sul campo residuo $k=A/𝔪$) è uguale al numero minimo di elementi necessari per generare $𝔪$. Grazie al teorema dell'ideale principale, questa dimensione è sempre maggiore o uguale della dimensione di Krull di $A$; quando si ha l'uguaglianza, l'anello è detto regolare.

Un'ulteriore conseguenza della lemma di Nakayama è che, su anelli locali, tutti i moduli proiettivi sono liberi.

Bibliografia

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