Lagrangiana di Darwin

La Lagrangiana di Darwin descrive l'interazione all'ordine $\frac{v^2}{c^2}$ tra due particelle cariche nel vuoto. Deve il suo nome a Charles Galton Darwin, nipote del naturalista Charles Darwin. La Lagrangiana è data da

$L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},$

dove la Lagrangiana di particella libera è

$L_{\text{f}}=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{8c^2}{m}_1{v}_1^4+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2+\frac{1}{8c^2}{m}_2{v}_2^4,$

mentre la Lagrangiana d'interazione è

$L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},$

in cui l'interazione coulombiana è

$L_{\text{C}}=-\frac{q_1{q}_2}{r},$

e l'interazione di Darwin è

$L_{\text{D}}=\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2c^2}{𝐯}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2.$

Nelle formule $q_1$ e $q_2$ le cariche rispettivamente delle particelle 1 e 2, $m_1$ e $m_2$ sono le masse, $v_1$ e $v_2$ le velocità, $c$ è la velocità della luce, $𝐫$ è il vettore tra le due particelle con $\widehat{𝐫}$ il relativo versore.

La Lagrangiana libera è l'espansione di Taylor della Lagrangiana libera di due particelle relativistiche al secondo ordine in $v$. Il termine d'interazione di Darwin è dovuto all'effetto su una particella del campo magnetico generato dall'altra. Se si includono ordini maggiori di $v/c$, allora devono essere considerati anche i gradi di libertà del campo, e l'interazione fra le particelle non può essere più considerata istantanea.

Derivazione della Lagrangiana nel vuoto

La Lagrangiana relativistica d'interazione per una particella con carica $q$ interagente con un campo magnetico è

$L_{\text{int}}=-q\mathrm{\Phi }+\frac{q}{c}𝐮\cdot 𝐀,$

dove $𝐮$ è la velocità relativistica della particella. Il primo termine a destra genera la classica interazione di Coulomb, mentre il secondo dà origine all'interazione di Darwin.

Il potenziale vettore nella gauge di Coulomb è descritto da (unità gaussiane)

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-\frac{4\pi }{c}{𝐉}_t$

dove la corrente trasversa ${𝐉}_t$ è la corrente solenoidale (vedere decomposizione di Helmholtz) generata dalla seconda particella. La divergenza della corrente trasversa è zero.

La corrente generata dalla seconda particella è

$𝐉=q_2{𝐯}_2\delta (𝐫-{𝐫}_2),$

che ha trasformata di Fourier

$𝐉\left(𝐤\right)\equiv \int d^{3}r\exp (-i𝐤\cdot 𝐫)𝐉\left(𝐫\right)=q_2{𝐯}_2\exp (-i𝐤\cdot {𝐫}_2).$

La componente trasversa della corrente è

${𝐉}_t\left(𝐤\right)=q_2[\mathrm{𝟏}-\widehat{𝐤}\widehat{𝐤}]\cdot {𝐯}_2\exp (-i𝐤\cdot {𝐫}_2).$

Si verifica facilmente che

$𝐤\cdot {𝐉}_t\left(𝐤\right)=0,$

che deve essere vera se la divergenza della corrente trasversale è zero. Si vede che

${𝐉}_t\left(𝐤\right)$

è la componente perpendicolare a $𝐤$ della trasformata di fourier della corrente.

Dall'equazione del potenziale vettore, la sua trasformata di Fourier è

$𝐀\left(𝐤\right)=\frac{4\pi }{c}\frac{q_2}{k^2}[\mathrm{𝟏}-\widehat{𝐤}\widehat{𝐤}]\cdot {𝐯}_2\exp (-i𝐤\cdot {𝐫}_2)$

dove si è tenuto l'ordine minore in $v/c$.

La trasformata inversa del potenziale vettore è

$𝐀\left(𝐫\right)=\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}𝐀\left(𝐤\right)\exp (i𝐤\cdot {𝐫}_1)=\frac{q_2}{2c}\frac{1}{r}[\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2$

dove

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

Il termine d'interazione di Darwin nella Lagrangiana è quindi

$L_{\mathrm{D}}=\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2c^2}{𝐯}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2$

dove ancora si è tenuto solo l'ordine minore in $v/c$.

Equazioni del moto lagrangiane

L'equazioni del moto per una particella è

$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {𝐯}_1}L({𝐫}_1,{𝐯}_1)={\mathrm{\nabla }}_{1}L({𝐫}_1,{𝐯}_1)$

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}={\mathrm{\nabla }}_{1}L({𝐫}_1,{𝐯}_1)$

dove ${𝐩}_1$ è la quantità di moto della particella.

Particella libera

Se si trascurano l'interazioni fra le due particelle, l'equazione del moto diventa

$\frac{d}{dt}\left[(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1\right]=0$

${𝐩}_1=(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1$

Particelle interagenti

Per particelle interagenti, l'equazione del moto diventa

$\frac{d}{dt}[(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1+\frac{q_1}{c}𝐀\left({𝐫}_1\right)]=-\mathrm{\nabla }\frac{q_1{q}_2}{r}+\mathrm{\nabla }[\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2c^2}{𝐯}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2]$

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}=\frac{q_1{q}_2}{r^2}\widehat{𝐫}+\frac{q_1{q}_2}{r^2}\frac{1}{2c^2}\{{𝐯}_1\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐯}_2\right)+{𝐯}_2\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐯}_1\right)-\widehat{𝐫}[{𝐯}_1\cdot (\mathrm{𝟏}+3\widehat{𝐫}\widehat{𝐫})\cdot {𝐯}_2]\}$

${𝐩}_1=(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1+\frac{q_1}{c}𝐀\left({𝐫}_1\right)$

$𝐀\left({𝐫}_1\right)=\frac{q_2}{2c}\frac{1}{r}[\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2$

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

Hamiltoniana per due particelle nel vuoto

L'Hamiltoniana di Darwin per due particelle nel vuoto è collegata alla Lagrangiana tramite una trasformata di Legendre

$H={𝐩}_1\cdot {𝐯}_1+{𝐩}_2\cdot {𝐯}_2-L.$

L'Hamiltoniana diventa

$H({𝐫}_1,{𝐩}_1,{𝐫}_2,{𝐩}_2)=(1-\frac{1}{4}\frac{p_1^2}{m_1^2{c}^2})\frac{p_1^2}{2m_1}+(1-\frac{1}{4}\frac{p_2^2}{m_2^2{c}^2})\frac{p_2^2}{2m_2}+\frac{q_1{q}_2}{r}-\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2m_1{m}_2{c}^2}{𝐩}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐩}_2.$

Equazioni del moto hamiltoniane

Le equazioni del moto hamiltoniane sono

${𝐯}_1=\frac{\partial H}{\partial {𝐩}_1}$

e

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}=-{\mathrm{\nabla }}_{1}H,$

che portano a

${𝐯}_1=(1-\frac{1}{2}\frac{p_1^2}{m_1^2{c}^2})\frac{{𝐩}_1}{m_1}-\frac{q_1{q}_2}{2m_1{m}_2{c}^2}\frac{1}{r}[\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐩}_2$

e

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}=\frac{q_1{q}_2}{r^2}\widehat{𝐫}+\frac{q_1{q}_2}{r^2}\frac{1}{2m_1{m}_2{c}^2}\{{𝐩}_1\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐩}_2\right)+{𝐩}_2\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐩}_1\right)-\widehat{𝐫}[{𝐩}_1\cdot (\mathrm{𝟏}+3\widehat{𝐫}\widehat{𝐫})\cdot {𝐩}_2]\}$

Da notare che l'equazione di Breit della meccanica quantistica originariamente utilizzò l'Hamiltoniana di Darwin come punto di partenza classico, sebbene l'equazione di Breit fu meglio giustificata dalla teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman e in modo migliore dall'elettrodinamica quantistica.

Voci correlate

• Effetto Zeeman
• Teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman