Ipocicloide

LTemplate:'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

Forma matematica

Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto $a/b$ uguale a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio $b$ che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio $a$ (con $a>b$) è data da:

$\{\begin{array}{c}x=(a-b)\cos \varphi +b\cos \left(\frac{a-b}{b}\varphi \right)\\ y=(a-b)\sin \varphi -b\sin \left(\frac{a-b}{b}\varphi \right).\end{array}$

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se $\frac{a}{b}$ è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con $\frac{a}{b}$ cuspidi. In particolare se $\frac{a}{b}=n\in \mathbb{N},$ allora l'ipocicloide ha $n$ cuspidi; invece se $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}\mathbb{\setminus }\mathbb{Z},$ allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da $\frac{a}{b}$ (quindi supponendo $(a,b)=1$ abbiamo esattamente $a$ cuspidi). Se invece $\frac{a}{b}$ è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra $a$ e $b$ razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra $a$ e $b$ è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

Voci correlate

• Rulletta
• Ipotrocoide
• Cicloide
• Epicicloide
• Astroide

Collegamenti esterni

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