Ipotrocoide

La curva rossa è un'ipotrocoide disegnata facendo ruotare il cerchio nero, più piccolo, dentro il cerchio blu, più grande (i parametri sono R = 5, r = 3, d = 5).

L'ellisse (disegnata in rosso) può essere espressa come un caso speciale di un'ipotrocoide dove R = 2r; nell'immagine, R = 10, r = 5, d = 1.

In geometria, un'ipotrocoide è una rulletta ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio $c$ di raggio $r$ e posto a una distanza $d$ dal centro (del cerchio $c$): quando $c$ ruota all'interno di un cerchio più grande, di raggio $R,$ traccia l'ipotrocoide.

Un'ipotrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:

$\{\begin{array}{c}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +d\cos \left(\frac{R-r}{r}\varphi \right)\\ y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -d\sin \left(\frac{R-r}{r}\varphi \right).\end{array}$

L'equazione polare di un'ipotrocoide è

$\rho (\varphi {)}^2=(R-r{)}^2+2d(R-r)\cos \left(\frac{R}{r}\varphi \right)+d^2,$

dove $\varphi$ non è l'angolo polare $\theta ,$ ma, quando $x\ne 0,$ le due variabili sono legate dalla relazione:

$\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{(R-r)\sin \varphi -d\sin \left(\frac{R-r}{r}\varphi \right)}{(R-r)\cos \varphi +d\cos \left(\frac{R-r}{r}\varphi \right)}.$

Tra i casi speciali di ipotrocoide vi sono l'ipocicloide, relativa a $d=r,$ e l'ellisse, ottenuta quando $R=2r.$

Le ipotrocoidi, così come le epitrocoidi, possono essere tracciate materialmente da una apparecchiatura chiamata spirografo.

Voci correlate

• Epitrocoide
• Cicloide
• Ipocicloide
• Epicicloide
• Spirograph

Collegamenti esterni

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• Hypotrochoid dal Dizionario Visuale delle Curve Piane Speciali, Xah Lee
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