Integrale di Fresnel

Gli integrali di Fresnel,

$S(x)$

e

$C(x)$

, sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall'ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.

Grafico degli integrali di Fresnel normalizzati: $S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \left(\frac{\pi }{2}{t}^2\right)dt$ e $C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(\frac{\pi }{2}{t}^2\right)dt$.

Definizione

Esse sono definite attraverso le seguenti rappresentazioni:

Grafico degli stessi integrali non normalizzati: $S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \left(t^2\right)dt$ e $C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(t^2\right)dt$.

$S(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \left(\frac{\pi }{2}{t}^2\right)dt$

$C(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(\frac{\pi }{2}{t}^2\right)dt$

anche se altri autori preferiscono definirle senza il $\frac{\pi }{2}$ nell'argomento di seno e coseno.

Proprietà

• $S(x)$ e $C(x)$ sono funzioni dispari.
• $C(iz)=iC(z)$
• $S(iz)=-iS(z)$
• Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari, salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:

  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }S(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }C(x)=\frac{1}{2}.$

Dimostrazione limite per x tendente all'infinito

Poiché gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati coi metodi tradizionali, una possibile dimostrazione di

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi }{8}}$

sfrutta l'analisi complessa e il risultato dell'integrale di Gauss $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$. L'integrale di partenza può essere scritto come parte reale di un numero complesso secondo quella che è la forma polare di un numero complesso:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x^2)dx=\mathrm{\Re }\left(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i{x}^2}dx\right).$

Curva semplice chiusa $\gamma$ nel piano complesso, suddivisa in ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2$ e ${\gamma }_3$.

Per calcolare il secondo integrale si sfrutta il teorema di Cauchy-Goursat scegliendo come cammino chiuso di integrazione la curva chiusa $\gamma$ suddivisibile nei tre tratti ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2$ e ${\gamma }_3$ come in figura:

${\oint }_{\gamma }{e}^{i{z}^2}dz=\underset{{\gamma }_1}{\int }{e}^{i{z}^2}dz+\underset{{\gamma }_2}{\int }{e}^{i{z}^2}dz+\underset{{\gamma }_3}{\int }{e}^{i{z}^2}dz=0.$

Questa operazione si può fare perché la funzione $e^{i{z}^2}$ è analitica in $ℂ$, che è semplicemente connesso.

Nel piano complesso ${\gamma }_3$ ha equazione $z=r{e}^{i\vartheta }$, con $r$ variabile; per ricondursi all'integrale della gaussiana si impone che l'inclinazione di tale retta sia tale che $i{z}^2=i{\left(r{e}^{i\vartheta }\right)}^2=-r^2$, ovvero $\vartheta =\frac{\pi }{4}$. Il terzo integrale diventa quindi

$\underset{{\gamma }_3}{\int }{e}^{i{z}^2}dz=\underset{R}{\overset{0}{\int }}{e}^{-r^2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}dr,$

che per $x$, ovvero $R\to +\mathrm{\infty }$, vale

$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{i\frac{\pi }{4}}\underset{R}{\overset{0}{\int }}{e}^{-r^2}dr=-e^{i\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$

La curva ${\gamma }_2$ può essere parametrizzata come $z=R{e}^{i\vartheta }$, questa volta con $\vartheta$ variabile. Il secondo integrale diventa

$\underset{{\gamma }_2}{\int }{e}^{i{z}^2}dz=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{e}^{i{R}^2{e}^{2i\vartheta }}(iR)e^{i\vartheta }d\vartheta =iR\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{e}^{i{R}^2\cos (2\vartheta )+i\vartheta }{e}^{-R^2\sin (2\vartheta )}d\vartheta .$

Per $0\le \vartheta \le \frac{\pi }{4}$, $\sin (2\vartheta )\ge 0$ e $\cos (2\vartheta )\ge 0$, e vale la disuguaglianza $\sin \vartheta >\frac{2}{\pi }\vartheta$. Ponendo $2\vartheta =\phi$, è possibile fare la seguente maggiorazione:

$0\le \left|\frac{R}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{i{R}^2\cos \phi +i\frac{\phi }{2}}{e}^{-R^2\sin \phi }d\phi \right|\le \frac{R}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left|e^{i{R}^2\cos \phi +i\frac{\phi }{2}}\right|\left|e^{-R^2\sin \phi }\right|d\phi =\frac{R}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-R^2\sin \phi }d\phi \le \frac{R}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-R^2\frac{2}{\pi }\phi }d\phi =-\frac{\pi }{4R}(e^{-R^2}-1),$

e dal teorema del confronto, segue che per $R\to +\mathrm{\infty }$ il secondo integrale vale $0$.

La curva ${\gamma }_1$, infine, può essere parametrizzata come $z=x=R$. Dal teorema di Cauchy-Goursat

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i{x}^2}dx=\underset{{\gamma }_1}{\int }{e}^{i{z}^2}dz=-\underset{{\gamma }_3}{\int }{e}^{i{z}^2}dz=e^{i\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$

L'integrale di Fresnel cercato diventa perciò

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x^2)dx=\mathrm{\Re }\left(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i{x}^2}dx\right)=\mathrm{\Re }\left(e^{i\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right)=\sqrt{\frac{\pi }{8}},$

come volevasi dimostrare.

Relazione con altre funzioni speciali

$C(z)+iS(z)=zM(\frac{1}{2},\frac{3}{2},i\frac{\pi }{2}{z}^2),$

dove $M$ denota una funzione ipergeometrica confluente.

La relazione con la funzione degli errori è:

$C(z)+iS(z)=\frac{1+i}{2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}[\frac{\sqrt{\pi }}{2}(1-i)z].$

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 300
• P. Drude Theory of Optics (Longmans, Green, and Co., New York, 1902) p. 188-203

Voci correlate

• Integrale di Gauss
• Integrale di Eulero

Collegamenti esterni

• Integrale di Fresnel S(x) su functions.wolfram.com
• Integrale di Fresnel C(x) su functions.wolfram.com
• Integrali di Fresnel MathWorld