Integrale della funzione inversa

In matematica, l'integrale di una funzione inversa può essere espresso nei termini della stessa inversa e di una primitiva della funzione non inversa, se questa la possiede. La formula è stata pubblicata nel 1905 da Charles-Ange Laisant.

Illustrazione del teorema

Enunciato

Sia $f:I\to J$ una funzione invertibile e strettamente monotona che ammette una primitiva $F$, con $I$ e $J$ intervalli di $ℝ$, e sia $f^{-1}:J\to I$ la sua inversa. Per qualche $c\in J$ fissato e per ogni $x\in J$ si ha

$\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt={[t{f}^{-1}(t)-(F\circ f^{-1})(t)]}_c^x,$

da cui il corollario immediato $\int f^{-1}(x)dx=x{f}^{-1}(x)-(F\circ f^{-1})(x)+C$ con $C$ costante reale arbitraria.

Dimostrazione

Se $f^{-1}$ è anche derivabile con continuità in $[c,x]$, ricordando che $\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt=\underset{c}{\overset{x}{\int }}1f^{-1}(t)dt$, per l'integrazione per parti

$\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt=t{f}^{-1}(t){|}_c^x-\underset{c}{\overset{x}{\int }}tD[f^{-1}(t)]dt,$

dove $D[f^{-1}(t)]$ è la derivata della funzione inversa. Se riscriviamo la funzione identità $t$ come $(f\circ f^{-1})(t)$ nell'integrale di partenza, poiché $(f\circ f^{-1})(t)D[f^{-1}(t)]=D[(F\circ f^{-1})(t)]$ con $F$ una primitiva di $f$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo

$\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt=[t{f}^{-1}(t)-(F\circ f^{-1})(t){]}_c^x.$

QED.

Tuttavia non è necessario che $f^{-1}(t)\in C^1([c,x])$ affinché il teorema valga.

Infatti, poiché $f^{-1}$ è una mappa biunivoca $[c,x]\mapsto [f^{-1}(c),f^{-1}(x)]$, possiamo usare l'integrazione per parti con cambio di variabili dell'integrale di Stieltjes,

$\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt=t{f}^{-1}(t){|}_c^x-\underset{f^{-1}(c)}{\overset{f^{-1}(x)}{\int }}td{f}^{-1}(t)=t{f}^{-1}(t){|}_c^x-\underset{f^{-1}(c)}{\overset{f^{-1}(x)}{\int }}f(f^{-1}(t))d{f}^{-1}(t).$

L'ultimo integrale è immediato e otteniamo $\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt=t{f}^{-1}(t){|}_c^x-F(t){|}_{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}$ che può però essere riscritto come

$\underset{c}{\overset{x}{\int }}{f}^{-1}(t)dt=(t{f}^{-1}(t)-F\circ f^{-1}(t)){|}_c^x.$

QED.

Storia

Da quanto è noto, questo teorema è stato pubblicato per la prima volta nel 1905 da Charles-Ange Laisant, e indipendentemente nel 1912 dall'ingegnere italiano Alberto Caprilli nell'opuscolo "Nuove formole d'integrazione", assumendo che $f$ o $f^{-1}$ sia differenziabile. Una versione più generale, libera da questa assunzione, fu proposta da Michael Spivak nel 1965 come esercizio nel suo libro Calculus, e una dimostrazione sotto le ipotesi ridotte è stata pubblicata in letteratura da Eric Key nel 1994.

Il teorema sotto ipotesi ridotte assume solo che $f$ (o $f^{-1}$) sia, oltre che integrabile ovviamente, strettamente monotona. La tesi viene dimostrata direttamente usando la definizione di integrale di Darboux. Infatti, se i punti $P=\{t_0,\dots ,t_n\}$ inducono una partizione nell'intervallo di integrazione (di $f^{-1}$) $[a,b]$, allora $P^{\prime }=\{f^{-1}(t_0),\dots ,f^{-1}(t_n)\}$ induce una partizione nell'intervallo di integrazione di $f$ (poiché $f^{-1}$ è strettamente monotona); si può quindi facilmente dimostrare che

$L(f^{-1},P)+U(f,P^{\prime })=b{f}^{-1}(b)-a{f}^{-1}(a),$

dove $L$ e $U$ sono rispettivamente le somme inferiori e superiori di Darboux. Dal risultato precedente segue la tesi poiché le funzioni sono integrabili.

È bene inoltre notare che, in generale, la (stretta) monotonia sia condizione necessaria, oltre che sufficiente, affinché valga la tesi. Ciò è facilmente dimostrabile considerando apposite funzioni invertibili e integrabili appositamente definite a tratti in forma, per esempio, simile a

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x,& \text{se }x\in [0,\frac{1}{2}),\\ 1-\frac{x}{2},& \text{se }x\in [\frac{1}{2},1].\end{array}$

Bibliografia

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