Insieme di definizione

In matematica, l'insieme di definizione è l'insieme massimale in cui è definita un'espressione data. Più precisamente: dati due insiemi $X$ e $Y$ e una regola di associazione $x\mapsto f(x)$ che stabilisce come assegnare a un valore dato $x\in X$ un valore $f(x)\in Y$, ci si può porre il problema di determinare l'insieme (o campo) di definizione (o di esistenza) di una tale regola di associazione, cioè l'insieme massimale $A\subseteq X$ in cui l'espressione $f(x)$ ha senso. In tal caso possiamo allora definire una funzione $f:A\to Y,x\mapsto f(x).$ Nel caso di funzioni a una variabile reale, il problema consiste nel determinare il massimo sottoinsieme $A\subseteq ℝ$ sul quale è possibile definire una funzione $f:A\to ℝ$ che rispetti $x\mapsto f(x)$, cioè l'insieme di tutti i numeri reali $x\in ℝ$ per i quali l'espressione $f(x)$ è ben definita. In altri termini, definita una funzione $x\mapsto f(x)$ il cui dominio $B$ sia contenuto in $ℝ$, avremo necessariamente $B\subseteq A$.

Regole

Le regole per determinare il campo di esistenza di una funzione reale a variabile reale sono diverse, a seconda della natura della funzione:

• se la funzione è algebrica razionale fratta, ossia se possiede un denominatore in cui compare la variabile $x$, allora il denominatore dovrà essere posto diverso da $0$;
• se la funzione è algebrica irrazionale intera, cioè se la variabile $x$ compare sotto il segno di radice e la radice ha indice pari, allora il radicando deve essere posto maggiore o uguale a $0$;
• se la funzione è trascendente di tipo logaritmico, cioè se la variabile $x$ compare nell'argomento del logaritmo, allora tale argomento deve essere posto maggiore di $0$;
• se la funzione è una tangente, allora l'argomento della tangente deve essere posto diverso da $\frac{\pi }{2}+k\pi$;
• se la funzione è una cotangente, allora l'argomento della cotangente deve essere posto diverso da $k\pi$;
• se la funzione è un arcoseno o un arcocoseno, allora l'argomento di tale funzione deve essere compreso tra $[-1,1]$.

Esempi

• L'espressione $f(x)=\log \frac{\sqrt{x+2}}{x-5}$ è priva di significato se è verificata una delle seguenti condizioni:

$\frac{\sqrt{x+2}}{x-5}⩽0$ perché il logaritmo non esiste per argomenti negativi

$x+2<0$ perché una radice quadrata non esiste per radicandi negativi

$x-5=0$ perché una frazione non esiste per denominatori che si annullano,

dunque il sottoinsieme reale massimale sul quale può essere definita una funzione di variabile reale $f:A\to ℝ$ con questa associazione è dato dall'insieme delle soluzioni del sistema:

$\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{x+2}}{x-5}>0\\ x+2⩾0\\ x-5\ne 0\end{array}$.

Significa quindi che per ogni

$D\subseteq A=(5,+\mathrm{\infty })$

è possibile definire una funzione

$\begin{array}{ccc}f:D& \to & ℝ\\ x& \mapsto & \log \frac{\sqrt{x+2}}{x-5}.\end{array}$

• La funzione $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ è una funzione esponenziale; poiché la variabile $x$ compare a denominatore dell'esponente, l'insieme di definizione di questa funzione è dato da tutti i valori reali di $x\ne 0$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Dominio (matematica)
• Funzione (matematica)
• Studio di funzione