Sistema di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un insieme di 2 o più disequazioni che hanno la stessa incognita; le soluzioni del sistema sono dei valori (di solito reali) che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni.

Esso può avere una o più incognite, espressamente indicate.

Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole disequazioni. In un sistema di $m$ disequazioni ed $n$ incognite, il numero delle disequazioni può essere: maggiore del numero delle incognite $(m>n)$ uguale al numero delle incognite $(m=n)$ minore del numero delle incognite $(m<n)$.

Risolvere un sistema rispetto alle incognite indicate significa determinare l'insieme $S$ dei valori che, rispettivamente sostituiti ad esse, verificano tutte le disequazioni che lo costituiscono.

Esempio di sistema di disequazioni di primo grado

$\{\begin{array}{c}x+2>0\\ x-5<0\end{array}$

che ha come soluzione:$\{\begin{array}{c}x>-2\\ x<5\end{array}$, ovvero $-2<x<5$.

Sistemi impossibili

• Un sistema di disequazioni può essere impossibile se non c'è un insieme di valori che soddisfino tutte le disequazioni:

$\{\begin{array}{c}{x}^2-1<0\\ x-6>0\end{array}$

si risolve nel sistema

$\{\begin{array}{c}-1<x<1\\ x>6\end{array}$

Evidentemente questo non ha soluzioni perché non esiste un numero che stia tra -1 e 1 e sia contemporaneamente maggiore di 6

• Un sistema può anche essere impossibile se almeno una delle sue disequazioni non ha soluzioni:

$\{\begin{array}{c}{x}^2+1<0\\ x^6-7x+4<0\end{array}$

È impossibile perché la prima disequazione non ha soluzioni (all'interno dell'insieme dei numeri reali), e l'intersezione tra un insieme vuoto di soluzioni e un altro insieme di soluzioni è l'insieme vuoto.

Risoluzione di un sistema di disequazioni polinomiali

Nel caso di una frazione o di un sistema di disequazioni polinomiali si ripete il procedimento per la risoluzione di una disequazione polinomiale, per ogni disequazione del sistema. Nel caso di una frazione vengono discussi fuori dal sistema i segni di numeratore e denominatore. Dopo avere disegnato il diagramma per il prodotto dei segni, per ogni disequazione, resta da farne uno per la risoluzione del sistema.

Il diagramma è nuovamente una retta nella quale si riportano in ordine crescente gli zeri associati a tutte le disequazioni del sistema. La soluzione questa volta però è l'intersezione (un AND) degli intervalli di valori dell'incognita, che saranno separati dal segno di congiunzione. Nel diagramma non si effettua il prodotto dei segni, e da ogni valore parte soltanto una linea continua nel verso positivo (non compaiono linee tratteggiate).

Gli intervalli di valori della soluzione sono quelli per i quali passano tutte le linee (continue) tracciate nel grafico.

Bibliografia

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