Funzione parziale

Una funzione parziale

In matematica, si dice funzione parziale $f:A\to B$ un sottoinsieme di $A\times B$, cioè una relazione binaria tra $A$ e $B$, tale che:

• $(a,b),(a,c)\in f\Rightarrow b=c$ (unicità)

ossia esiste al più un $b\in B$ tale che $f(a)=b$.

È importante notare come non si richiede che la funzione sia definita ovunque, cioè che per ogni $a$ in $A$ sia $(a,b)\in f$ per un $b$ in $B$.

Per contrapposizione, una funzione parziale definita su ogni elemento del dominio (cioè una funzione nel senso comune del termine) è detta totale.

Un esempio di funzione parziale è $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ definita dalla relazione $f(n)=\sqrt{n}$. Osserviamo che la funzione è definita dall'insieme dei numeri naturali in sé stesso, dunque è una funzione parziale in quanto $f(n)$ è un numero naturale solo se $n$ è un quadrato perfetto.

Data una funzione parziale $f:A\to B$ è sempre possibile restringere il dominio all'insieme di definizione $D_f$ della funzione. In questo modo, la restrizione della funzione $f$ alla funzione $f{|}_{D_f}:D_f\to B$ è una funzione totale.

Un altro esempio di funzione parziale è $g:ℝ\to ℝ$ definita dalla relazione $g(x)=\frac{1}{x}$. Questa funzione è parziale dal momento che $\frac{1}{0}$ non è definito. Restringendo la funzione al suo insieme di definizione $g{|}_{D_g}:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ$ si ottiene una funzione (diversa) che però è totale.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Funzione ricorsiva
• Dominio e codominio
• Studio di funzione
• Relazione binaria

Collegamenti esterni

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