Funzione non espansiva

In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Più precisamente, se $X$ e $Y$ sono spazi metrici e $f:X\to Y$ allora essa si dice non espansiva se

$d_Y(f(x),f(y))\le d_X(x,y)$ per ogni $x,y$ in $X$.

Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora $f$ è un'isometria.

Teorema

Se $X$ è uno spazio normato, $S$ un suo sottoinsieme compatto e convesso e $T:S\to S$ è non espansiva, allora $T$ ammette punto fisso, cioè esiste un $x$ in $S$ tale che $T(x)=x$.

Dimostrazione

Per ogni $n$ numero naturale e per un fissato $x_0$ in $S$ definiamo $f_n(x)=(1-k_n)x_0+k_{n}T(x)$, dove $(k_n{)}_{n\in N}\subset (0,1)$ è una successione di numeri reali convergente a 1. È

$\Vert f_n(x)-f_n(y)\Vert =\Vert k_n(T(x)-T(y)\Vert =k_n\Vert T(x)-T(y)\Vert <\Vert T(x)-T(y)\Vert \le \Vert x-y\Vert$,

dunque per ogni $n$ naturale $f_n$ è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso $x_n$.

Sia $(x_n{)}_n$ la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in $S$, dunque essendo $S$ compatto per successioni esiste una sottosuccessione $(x_p{)}_p\subset (x_n{)}_n$ convergente in $S$ ad un punto $y$. Allora è

$\Vert y-T(y)\Vert \le \Vert y-x_p\Vert +\Vert x_p-T(x_p)\Vert +\Vert T(x_p)-T(y)\Vert$.

Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su $x_p$ e per la continuità di $T$. Il secondo addendo è

$\Vert x_p-T(x_p)\Vert =\Vert f_p(x_p)-T(x_p)\Vert =\Vert (1-k_p)x_0+k_{p}T(x_p)-T(x_p)\Vert$,

dunque quando $p\to \mathrm{\infty }$ il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a $T(y)$, cioè $\Vert x_p-T(x_p)\Vert \to 0$.

Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è

$0\le \Vert y-T(y)\Vert \le 0$, cioè $\Vert y-T(y)\Vert =0$, cioè $y=T(y)$.