Funzione beta di Dirichlet

La funzione beta di Dirichlet

In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.

Definizione

La funzione beta di Dirichlet è definita come

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s},$

o anche

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx.$

In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.

È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:

$\beta (s)=4^{-s}(\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4}))$.

Equazione funzionale

L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \frac{\pi s}{2}\beta (1-s)$

dove Γ(s) è la funzione Gamma.

Valori speciali

Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:

$\beta (0)=\frac{1}{2}$,

$\beta (1)={\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$,

$\beta (2)=K$,

dove K è la costante di Catalan, e

$\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32}$.

$\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536}$

$\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320}$

Più in generale, per ogni intero positivo k:

$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2n}}{2(2k!)}(\frac{1}{2}\pi {)}^{2k+1}$,

dove $E_n$ sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:

$\beta (k)=\frac{E_k}{2}$.

quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 807

Voci correlate

• Funzione zeta di Hurwitz

Collegamenti esterni

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