Equivalenza logica

Nella logica e nella matematica, due proposizioni $p$ e $q$ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello. L'equivalenza logica di $p$ e $q$ è a volte espressa come $p\equiv q$, $p::q$, $\mathsf{\text{E}}pq$, o anche $p⟺q$, a seconda della notazione adottata. Tuttavia, questi simboli sono usati anche per l'equivalenza materiale, motivo per cui la corretta interpretazione dipende dal contesto: l'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale, sebbene i due concetti siano intrinsecamente correlati.

Equivalenze logiche

Nela logica esistono molteplici equivalenze enunciate come leggi o proprietà. Di seguito se ne riportano alcune.

Equivalenze logiche generali

Equivalenza	Nome
$p\wedge \mathrm{\top }\equiv p$ $p\vee \mathrm{\perp }\equiv p$	Leggi di identità
$p\vee \mathrm{\top }\equiv \mathrm{\top }$ $p\wedge \mathrm{\perp }\equiv \mathrm{\perp }$	Leggi di dominazione
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Leggi di idempotenza o tautologia
$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\equiv p$	Legge della doppia negazione
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Leggi commutative
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Leggi associative
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Leggi distributive
$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ $\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$	Leggi di De Morgan
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Leggi di assorbimento
$p\vee \mathrm{\neg }p\equiv \mathrm{\top }$ $p\wedge \mathrm{\neg }p\equiv \mathrm{\perp }$	Leggi di negazione

Equivalenze logiche che coinvolgono affermazioni condizionali

1. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }p\vee q$
2. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }q⟹\mathrm{\neg }p$
3. $p\vee q\equiv \mathrm{\neg }p⟹q$
4. $p\wedge q\equiv \mathrm{\neg }(p⟹\mathrm{\neg }q)$
5. $\mathrm{\neg }(p⟹q)\equiv p\wedge \mathrm{\neg }q$
6. $(p⟹q)\wedge (p⟹r)\equiv p⟹(q\wedge r)$
7. $(p⟹q)\vee (p⟹r)\equiv p⟹(q\vee r)$
8. $(p⟹r)\wedge (q⟹r)\equiv (p\vee q)⟹r$
9. $(p⟹r)\vee (q⟹r)\equiv (p\wedge q)⟹r$

Equivalenze logiche che coinvolgono bicondizionali

1. $p⟺q\equiv (p⟹q)\wedge (q⟹p)$
2. $p⟺q\equiv \mathrm{\neg }p⟺\mathrm{\neg }q$
3. $p⟺q\equiv (p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$
4. $\mathrm{\neg }(p⟺q)\equiv p⟺\mathrm{\neg }q$

Esempi

Nella logica

Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:

1. Se Lisa è in Danimarca, allora è in Europa (una dichiarazione del tipo $d⟹e$),
2. Se Lisa non è in Europa, allora non è in Danimarca (una dichiarazione del tipo $\mathrm{\neg }e⟹\mathrm{\neg }d$).

Sintatticamente, la (1) e la (2) sono derivabili l'una dall'altra tramite le regole della contrapposizione e della doppia negazione. Semanticamente, la (1) e la (2) sono vere esattamente negli stessi modelli matematici (interpretazioni, valutazioni); vale a dire, quelli in cui o "Lisa è in Danimarca" è falsa o "Lisa è in Europa" è vera.

Si noti che in questo esempio si presuppone la logica classica. Alcune logiche non classiche non considerano la (1) e la (2) logicamente equivalenti.

Relazione con l'equivalenza materiale

L'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale. Le formule $p$ e $q$ sono logicamente equivalenti se e solo se l'affermazione della loro equivalenza materiale ($p⟺q$) è una tautologia.

L'equivalenza materiale di $p$ e $q$ (spesso scritta come $p\leftrightarrow q$) è esso stesso un'altra istruzione nello stesso linguaggio oggetto di $p$ e $q$.

Questa affermazione esprime l'idea che $p$ e se e solo se $q$. In particolare, il valore di verità di $p\leftrightarrow q$ può cambiare da un modello all'altro.

D'altra parte, l'affermazione che due formule sono logicamente equivalenti è un'affermazione nel metalinguaggio, che esprime una relazione tra le due affermazioni $p$ e $q$ Le affermazioni sono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.

Collegamenti esterni

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