Equazione di Legendre

In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+ky=0x\in (-1,1).$

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con $p(x)=1-x^2$, $q(x)=0$ e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

$((1-x^2)y^{\prime }{)}^{\prime }+ky=0$

L'equazione

Nella forma più generale:

$(1-x^2{)}^2{y}^{″}-2x(1-x^2)y^{\prime }+((l^2+l)(1-x^2)-{\alpha }^2)y=0$

oppure:

$(1-x^2{)}^2{y}^{″}-2x(1-x^2)y^{\prime }+((l^2+l)(1-x^2)+{\alpha }^2)y=0$

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

$y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$

dove $y_1(x)$ e $y_2(x)$ sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

$\frac{{\partial }^{2}Y(\theta ,\phi )}{\partial {\theta }^2}+\cot (\theta )\frac{\partial Y(\theta ,\phi )}{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y(\theta ,\phi )}{\partial {\phi }^2}+l(l+1)Y(\theta ,\phi )=0$

con la condizione al contorno:

$Y(\theta ,\phi +2\pi )=Y(\theta ,\phi )$

dove $l$ è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari $r,\theta ,\phi$, ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

$Y(\theta ,\varphi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\phi )$

da cui, sostituendo e moltiplicando per $\frac{{\sin }^2\theta }{\mathrm{\Theta }\mathrm{\Phi }}$ si ottiene:

${\sin }^2\theta \frac{{\mathrm{\Theta }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\mathrm{\Theta }}+\sin (\theta )\cos (\theta )\frac{{\mathrm{\Theta }}^{\text{'}}}{\mathrm{\Theta }}+l(l+1){\sin }^2(\theta )+\frac{{\mathrm{\Phi }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\mathrm{\Phi }}=0$

dalla quale si vede che deve essere:

${\sin }^2\theta \frac{{\mathrm{\Theta }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\mathrm{\Theta }}+\sin (\theta )\cos (\theta )\frac{{\mathrm{\Theta }}^{\text{'}}}{\mathrm{\Theta }}+l(l+1){\sin }^2(\theta )=-\frac{{\mathrm{\Phi }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\mathrm{\Phi }}=\text{costante}$

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a $-{\alpha }^2$ con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in $\mathrm{\Phi }$:

$\mathrm{\Phi }(\phi )=e^{\pm i\alpha \phi }$

mentre si vede che la parte in $\mathrm{\Theta }(\theta )$ deve soddisfare la relazione:

${\sin }^2(\theta ){\mathrm{\Theta }}^{{\text{'}}^{\prime }}+\sin (\theta )\cos (\theta ){\mathrm{\Theta }}^{\text{'}}+(l(l+1){\sin }^2(\theta )-{\alpha }^2)\mathrm{\Theta }=0$.

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire $\cos (\theta )=x$ e si ritrova:

$(1-x^2{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}{x}^2}-2x(1-x^2)\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}x}+(l(l+1)(1-x^2)-{\alpha }^2)\mathrm{\Theta }=0$

Nella forma:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P(x)]+n(n+1)P(x)=0$

è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.

Bibliografia

• Template:En Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 8 e capitolo 22)
• Template:De Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
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• Template:En Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877)
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• Template:En Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1)
• Template:En Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)

Voci correlate

• Armoniche sferiche
• Equazioni di Bessel
• Tavola delle armoniche sferiche

Collegamenti esterni

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