Separazione delle variabili

In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$

con $y=f(x)$. Se $h(y)\ne 0$ si possono riordinare i termini:

$\int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx$

in modo che le variabili $x$ e $y$ siano separate ognuna in uno dei due membri.

Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è $y^{\prime }=ay$, la crescita esponenziale.

Esempio

Template:Vedi anche La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

$\frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{K})$

dove $P$ è la popolazione in funzione del tempo $t$, $k$ è il suo tasso di crescita e $K$ è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:

$\int \frac{dP}{P(1-\frac{P}{K})}=\int kdt$

Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:

$\frac{1}{P(1-\frac{P}{K})}=\frac{K}{P(K-P)}$

e quindi la si decompone in fratti semplici:

$\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}$

Si ha quindi:

$\int (\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P})dP=\int kdt$

Uguagliando gli integrandi:

$\ln \left|\begin{array}{c}P\end{array}\right|-\ln \left|\begin{array}{c}K-P\end{array}\right|=kt+C$

da cui:

$\ln \left|\begin{array}{c}K-P\end{array}\right|-\ln \left|\begin{array}{c}P\end{array}\right|=-kt-C$

per le proprietà dei logaritmi:

$\ln \left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=-kt-C$

Si ha:

$\left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=e^{-kt-C}=e^{-C}{e}^{-kt}$

e quindi:

$\frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}{e}^{-kt}$

Sia $A=\pm e^{-C}$. Allora:

$\frac{K-P}{P}=A{e}^{-kt}$

che si può riscrivere:

$\frac{K}{P}-1=A{e}^{-kt}$

da cui si ricava:

$P=\frac{K}{1+A{e}^{-kt}}$

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

$P\left(t\right)=\frac{K}{1+A{e}^{-kt}}$

Per trovare $A$, sia $t=0$ e $P\left(0\right)=P_0$. Si ha:

$P_0=\frac{K}{1+A{e}^0}$

Notando che $e^0=1$, risolvendo per $A$ si ha:

$A=\frac{K-P_0}{P_0}$

Equazioni alle derivate parziali

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Caso omogeneo

Data l'equazione della diffusione in una dimensione:

$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$

con condizione al contorno:

$u{|}_{x=0}=u{|}_{x=L}=0$

si cerca di trovare una soluzione $u$ non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da $x$ e $t$ è separata, ovvero:

$u(x,t)=X(x)T(t)$

Sostituendo $u$ nell'equazione e usando la regola del prodotto:

$\frac{T^{\prime }(t)}{\alpha T(t)}=\frac{X^{″}(x)}{X(x)}$

Dato che il membro alla destra dipende solo da $x$ e quello alla sinistra solo da $t$, entrambi sono uguali ad una qualche costante $-\lambda$:

$T^{\prime }(t)=-\lambda \alpha T(t)X^{″}(x)=-\lambda X(x)$

dove $-\lambda$ è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con $T(t)$ e $X(x)$ le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per $\lambda \le 0$, si osserva inizialmente che per $\lambda <0$ esistono due numeri reali $B$ e $C$ tali che:

$X(x)=B{e}^{\sqrt{-\lambda }x}+C{e}^{-\sqrt{-\lambda }x}$

Utilizzando le condizioni al contorno si ha che $X(0)=0=X(L)$, da cui si ha $B=0=C$, che implica che $u$ è nulla. Supponendo $\lambda =0$, del resto, in tal caso esistono due numeri reali $B$ e $C$ tali che:

$X(x)=Bx+C$

Dal fatto che $X(0)=0=X(L)$ si conclude in modo analogo che $u$ è nulla. Quindi, deve essere $\lambda >0$, ed esistono $A$, $B$ e $C$ tali che:

$T(t)=A{e}^{-\lambda \alpha t}X(x)=B\sin (\sqrt{\lambda }x)+C\cos (\sqrt{\lambda }x)$

Sfruttando nuovamente $X(0)=0=X(L)$, si ha $C=0$ e che per qualche intero positivo $n$ si verifica:

$\sqrt{\lambda }=n\frac{\pi }{L}$

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di $u$ ha la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$. In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\exp (-\frac{n^2{\pi }^2\alpha t}{L^2})$

dove $D_n$ sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

$u{|}_{t=0}=f(x)$

si ottiene:

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\sin \frac{n\pi x}{L}$

che è l'espansione in serie di seni di $f(x)$. Moltiplicando ambo i membri per $\sin (n\pi x/L)$ e integrando nell'intervallo $[0,L]$ si ha:

$D_n=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

Questo metodo richiede che le autofunzioni di $x$, che in tal caso sono:

${\{\sin \frac{n\pi x}{L}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Caso non omogeneo

Si consideri l'equazione non omogenea:

$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=h(x,t)$

con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni $h(x,t)$, $u(x,t)$ e $f(x,t)$ possono essere espanse in serie di seni:

$h(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{h}_n(t)\sin \frac{n\pi x}{L}$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(t)\sin \frac{n\pi x}{L}$

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}$

dove $h_n(t)$ e $b_n$ possono essere calcolati per integrazione, mentre $u_n(t)$ deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di $h_n(t)$ e $u_n(t)$ nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:

$u{\text{'}}_n(t)+\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}{u}_n(t)=h_n(t)$

che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:

$u_n(t)=e^{-\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}t}(b_n+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{h}_n(s)e^{\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}s}ds)$

Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.

Software

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Equazione differenziale ordinaria
• Equazione logistica
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni

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