Distribuzione ipergeometrica

Template:F Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione ipergeometrica è una distribuzione di probabilità discreta che descrive l'estrazione senza reinserimento di alcune palline, perdenti o vincenti, da un'urna.

L'estrazione con reinserimento (la pallina estratta viene rimessa nell'urna) viene invece descritta dalla distribuzione binomiale.

Ad esempio, estraendo 5 palline da un'urna che ne contiene 3 bianche e 7 nere, il numero di palline bianche estratte è descritto dalla distribuzione ipergeometrica.

Definizione

La distribuzione ipergeometrica $\mathscr{H}(n,h,r)$ descrive la variabile aleatoria che conta, per r elementi distinti estratti a caso (in modo equiprobabile) da un insieme A di cardinalità n, quanti sono nel sottoinsieme B di cardinalità h. In termini più concreti descrive, data un'urna contenente h palline bianche e n-h palline nere, il numero di palline bianche che vengono ottenute estraendo senza reinserimento r palline.

La probabilità di ottenere esattamente k elementi in B è

$P(k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{h}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-h}{r-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}$.

Questa probabilità, espressa tramite i coefficienti binomiali $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})=\frac{a!}{b!(a-b)!}$, si può ricavare tramite il calcolo combinatorio:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$ è il numero di possibili estrazioni di r elementi da A,

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{h}{k})$ è il numero di possibili estrazioni di k elementi tra gli h di B,

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-h}{r-k})$ è il numero di possibili estrazioni dei restanti r-k elementi tra gli n-h non in B.

Definizione alternativa

Una definizione equivalente considera gli elementi estratti come un sottoinsieme C di A. In questo modo la cardinalità dell'intersezione $B\cap C$ di due insiemi B e C, scelti a caso (con distribuzione uniforme) tra i sottoinsiemi di A con cardinalità fissate, è descritta dalla distribuzione ipergeometrica $\mathscr{H}(\mathrm{\#}A,\mathrm{\#}B,\mathrm{\#}C)$.

Proprietà

Cardinalità delle intersezioni

	B	A-B	A
C	k	r-k	r
A-C	h-k	n-r-h+k	n-r
A	h	n-h	n

La formula per la probabilità presenta varie simmetrie, che si possono ricavare scambiando i ruoli che svolgono i quattro insiemi vincenti (B), non vincenti (A-B), estratti (C) e non estratti (A-C). In particolare

• scambiando vincenti con estratti

$P_{n,h,r}(k)=P_{n,r,h}(k)$

• scambiando vincenti con non vincenti

$P_{n,h,r}(k)=P_{n,n-h,r}(r-k)$

• scambiando estratti con non estratti

$P_{n,h,r}(k)=P_{n,h,n-r}(h-k)$

Caratteristiche

Senza bisogno di fare calcoli con i coefficienti binomiali, il valore atteso di N si può ottenere considerando per ogni elemento b di B la variabile aleatoria $X_b$ che vale 1 se b viene estratto e 0 altrimenti. In questo modo si ha $N=\sum _{k=1,..,r}{X}_k$, dove ogni $X_k$ segue la distribuzione di Bernoulli $ℬ(h/n)$; anche se, a differenza della distribuzione binomiale, le variabili $X_k$ non sono indipendenti tra di loro, per la linearità del valore atteso si ottiene

$E[N]=\sum _{k=1,..,r}E[X_k]=\frac{rh}{n}$.

È possibile procedere nella stessa maniera per calcolare la varianza di N tramite la varianza e la covarianza delle $X_b$:

$\text{Var}(N)=\sum _i\text{Var}(X_i)+\sum _{i\ne j}\text{cov}(X_i,X_j)=\frac{r(n-r)h(n-h)}{n^2(n-1)}$;

in particolare, i fattori che compaiono al numeratore sono le cardinalità dei quattro insiemi "estratti", "non estratti", "vincenti" e "non vincenti".

Altre distribuzioni

Per una singola estrazione la distribuzione ipergeometrica $\mathscr{H}(n,h,1)$ coincide con la distribuzione di Bernoulli $ℬ(h/n)$.

A differenza della distribuzione ipergeometrica, la distribuzione binomiale $ℬ(h/n,r)$ corrisponde ad un processo in cui dopo ogni estrazione la pallina viene reintrodotta nell'urna, lasciando invariata la probabilità di estrarre in seguito una pallina vincente. Per valori di n e h molto grandi rispetto a r, e per h/n non vicino a 0 né a 1, ad ogni estrazione le probabilità restano quasi uguali. In statistica (ad esempio nei sondaggi) questa approssimazione viene accettata per $h<n/10$.

La distribuzione ipergeometrica può essere generalizzata considerando differenti le probabilità di estrarre le singole palline, ovvero utilizzando una distribuzione non uniforme sull'insieme A.

Un'altra generalizzazione della distribuzione ipergeometrica è la distribuzione ipergeometrica multivariata, che prevede che nell'urna siano presenti palline di più di due colori, ovvero in cui l'insieme A non è più partizionato nei soli due insiemi B e A-B, ma in $B_1,...,B_s$ (insiemi disgiunti la cui unione è A). La distribuzione non descrive più la probabilità che k elementi siano in B e r-k in A-B, bensì la probabilità che k₁ siano in B₁, k₂ in B₂, e così via, per ogni $(k_1,...,k_s)\in {\mathbb{N}}^s$ con $k_1+...+k_s=r$:

$P(k_1,...,k_s)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{h_1}{k_1})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{h_s}{k_s})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}$.

Questa distribuzione di probabilità si rapporta alla distribuzione multinomiale esattamente come la distribuzione ipergeometrica si rapporta alla distribuzione binomiale.

Esempio

Un esempio di distribuzione ipergeometrica è dato dal gioco d'azzardo win for Life, in cui su un totale di n=20 numeri disponibili h=10 vengono scelti dal giocatore e r=10 vengono estratti. La probabilità di indovinarne k è governata dalla distribuzione ipergeometrica $\mathscr{H}(20,10,10)$,

$P(k)=P(10-k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{20-10}{10-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10})}=\frac{{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k})}^2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10})}=\frac{(10!{)}^4}{20!}{\left(\frac{1}{k!(10-k)!}\right)}^2$.

In particolare si possono calcolare facilmente le probabilità di vincita, proporzionali ai quadrati dei coefficienti binomiali $(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k})$; ad esempio la probabilità che vengano estratti esattamente 6 (oppure 4) degli elementi scelti è

$P(6)=P(4)=\frac{{\left(\frac{10!}{6!4!}\right)}^2}{\frac{20!}{10!10!}}=\frac{44100}{184756}\approx 0,24$.

Voci correlate

• Coefficiente binomiale
• Distribuzione binomiale
• Distribuzione discreta uniforme

Collegamenti esterni

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