Distribuzione generalizzata dei valori estremi

Template:F Template:S In teoria della probabilità la distribuzione generalizzata dei valori estremi (dall'inglese generalized extreme value distribution, in sigla GEV), o distribuzione di Fisher-Tippett, è una famiglia di distribuzioni di probabilità che raccoglie la distribuzione di Fréchet, la distribuzione di Weibull e la distribuzione di Gumbel (come caso al limite).

Questa famiglia è comune nella teoria dei valori estremi, dove descrive il limite dei massimi $M_n=\max \{X_1,X_2,...,X_n\}$ in una successione di variabili aleatorie indipendenti, secondo il teorema dei valori estremi.

Il secondo nome con cui è conosciuta deriva dagli statistici britannici Fisher e Tippett.

Definizione

Una distribuzione generalizzata dei valori estremi è caratterizzata da tre parametri reali $(\mu ,\sigma ,\xi )$ con $\sigma >0$ e $\xi \ne 0$; il suo supporto dipende dai valori dei parametri.

La sua funzione di ripartizione è definita come:

$F(x)=e^{-{(1+\xi \frac{x-\mu }{\sigma })}^{-\frac{1}{\xi }}}$,

per i valori di $x$ che soddisfano:

$\xi \cdot x\ge \xi \cdot \mu -\sigma$

Classificazione

Prendendo

$a=\mu -\frac{\sigma }{\xi },b=\frac{\sigma }{\xi },c=\frac{1}{\xi }$,

la funzione di ripartizione può essere scritta come:

$F(x)=e^{-(\frac{x-a}{b}{)}^{-c}}$.

Distribuzione di Fréchet

Per $\xi >0$ la distribuzione è una distribuzione di Fréchet generalizzata di parametri $(a,b,c)$

Distribuzione di Weibull

Per $\xi <0$ la distribuzione "riprende" una distribuzione di Weibull generalizzata di parametri $(a,b,-c)$, descrivendone la funzione di sopravvivenza; più precisamente le due distribuzioni descrivono due variabili aleatorie opposte, $X$ e $-X$.

Distribuzione di Gumbel

Per $\xi =0$ la distribuzione non è definita, ma al limite $\xi \to 0$ si ottiene:

$\underset{\xi \to 0}{\lim }{F}_{\xi }(x)=e^{-e^{-\frac{x-\mu }{\sigma }}}$,

che corrisponde alla distribuzione di Gumbel.

Bibliografia

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Voci correlate

• Distribuzione di Fréchet
• Distribuzione di Gumbel
• Distribuzione di Weibull