Distribuzione di Fréchet

Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione di Fréchet è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali positivi.

Prende il nome dal matematico francese Maurice René Fréchet, che la descrisse nel 1927.

Definizione

La distribuzione di Fréchet di parametro $\alpha >0$ è definita sui reali positivi con funzione di ripartizione

$F(x)=e^{-x^{-\alpha }}$

la sua funzione di densità di probabilità è

$f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}{e}^{-x^{-\alpha }}$.

Caratteristiche

La distribuzione di Fréchet di parametro $\alpha$ ha momenti semplici

${\mu }_k=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx=\alpha \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k-\alpha -1}{e}^{-x^{-\alpha }}dx$,

Applichiamo un semplice cambio di variabili $t=x^{-\alpha },dt=-\alpha x^{-\alpha -1}dx$

${\mu }_k=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-\frac{k}{\alpha }}{e}^{-t}dt$

Questo integrale converge qualora $1-\frac{k}{\alpha }>0\Rightarrow k<\alpha$

${\mu }_k=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{k}{\alpha })$ se $k<\alpha$

dove $\mathrm{\Gamma }$ è la funzione Gamma.

In particolare una variabile aleatoria con questa distribuzione

• se $\alpha >1$ ha speranza matematica $E[X]=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })$ e
• se $\alpha >2$ ha varianza $\text{Var}(X)=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-{\mathrm{\Gamma }}^2(1-\frac{1}{\alpha })$

I quantili $q_a$ di ordine $a$ si esprimono tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

$q_a=F^{-1}(a)={\left(\frac{1}{\log \frac{1}{a}}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$.

In particolare la mediana è

$q_{1/2}=(\frac{1}{\log 2}{)}^{\frac{1}{\alpha }}$.

La moda della distribuzione è ${\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$.

Altre distribuzioni

La distribuzione di Fréchet può essere generalizzata tramite altri due parametri, $\mu$ e $\sigma$, descrivendo una variabile aleatoria $\frac{X-\mu }{\sigma }$ al posto di $X$; la funzione di ripartizione corrispondente è

$F(x)=e^{-(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^{-\alpha }}$.

La distribuzione di Fréchet è una distribuzione generalizzata dei valori estremi, una famiglia di distribuzioni di probabilità che descrive anche la distribuzione di Weibull nel caso particolare in cui un parametro sia uguale a 1 e, come caso limite, la distribuzione di Gumbel.

Voci correlate

• Distribuzione generalizzata dei valori estremi
• Funzione Gamma
• Teoria dei valori estremi