Distribuzione di Gumbel

Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità, la distribuzione di Gumbel o distribuzione del valore estremo di primo tipo, dall'inglese Extreme Value type 1 (EV1), è una distribuzione di probabilità continua a due parametri $\alpha$ e $u$ che viene usata per descrivere i valori estremi di una serie stocastica continua; il suo nome deriva dal fatto che fu sviluppata ed applicata ai valori estremi da Emil Julius Gumbel.

La funzione di densità di probabilità è data da:

$p(x)=\alpha \cdot \exp (\alpha \cdot (u-x)-\exp (\alpha \cdot (u-x)))$

dove:

• $\alpha =\frac{1,283}{\sigma (x)}$, essendo 1,283 lo scarto quadratico medio della variabile ridotta, mentre $\sigma (x)$ è lo scarto quadratico medio del campione di dati;
• $u=\mu (x)-0,45\cdot \sigma (x)$, essendo $\mu (x)$ la media del campione di dati.

o, equivalentemente, definendo:

• $\beta =\frac{1}{\alpha }$ ;
• $z=\frac{x-u}{\beta }$;

si ha la forma più compatta:

$p(z)=\frac{1}{\beta }\cdot \exp (-z-\exp (-z))$

La funzione di ripartizione è data da:

$P(x)=\exp (-\exp (\alpha \cdot (u-x)))$

Applicazioni notevoli di questa distribuzione sono le previsioni di eventi di piena o di siccità in idrologia o le previsioni di terremoti devastanti in geostatistica.

Voci correlate

• Distribuzione generalizzata dei valori estremi
• Distribuzione di Fréchet
• Distribuzione di Weibull
• Curva di possibilità climatica