Distribuzione T-quadrato di Hotelling

La distribuzione T-quadrato di Hotelling (chiamata così secondo Harold Hotelling) è una generalizzazione della distribuzione t di Student utilizzata nei test di ipotesi multivariati.

Definizione

La statistica T-quadrato di Hotelling è definita come segue:

Siano

${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n$

p×1 vettori colonna di numeri reali e

$\overline{𝐱}=({𝐱}_1+\cdots +{𝐱}_n)/n$

le loro medie. Sia

$𝐖=\sum _{i=1}^n({𝐱}_i-\overline{𝐱})({𝐱}_i-\overline{𝐱}{)}^{\prime }/(n-1)$

la matrice non negativa data dalla loro varianza (la trasposta di una matrice $M$ viene indicata com $M^{\prime }$).

Sia μ un vettore colonna $p\times 1$ noto (in applicazione dei valori medi ipotizzati per la popolazione). La statistica T-quadrato di Hotelling è data da

$T^2=(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }).$

Risultati teorici

Se $𝐱\sim N_p(\mu ,𝐕)$ è una variabile casuale con una distribuzione normale multivariata, $𝐐\sim W_p(m,𝐕)$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart, e sia $𝐱$ che $𝐐$ sono indipendenti, allora $T^2$ è distribuita come una variabile casuale T-quadrato di Hotelling.

Si può dimostrare che se ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n\sim N_p(\mu ,𝐕)$, sono indipendenti e sia $\overline{𝐱}$ che $𝐖$ sono definiti come sopra allora $𝐖$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart con $m=n-1$ gradi di libertà ed è indipendente da $\overline{𝐱}$ e

$\overline{𝐱}\sim N_p(\mu ,V/n).$

Inoltre, se entrambe le distribuzioni sono non-singolari, si può dimostrare che

$\frac{m-p+1}{pm}{T}^2\sim F_{p,m-p+1}$

dove $F$ è la variabile casuale F di Snedecor.

Voci correlate

• Distribuzione Lambda di Wilks

Collegamenti esterni

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