Test F

In statistica il test F per il confronto di due varianze è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe distribuzioni normali abbiano la stessa varianza.

Procedimento

Se le popolazioni X e Y seguono rispettivamente le distribuzioni normali $𝒩({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$ e $𝒩({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$, allora

• i campioni $X_1,X_2,\dots ,X_n$ e $Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$ si suppongono indipendenti, i primi isonomi a X e i secondi isonomi a Y;

• gli stimatori delle varianze osservate $S_X^2$ e $S_Y^2$ sono variabili aleatorie indipendenti;

• le variabili aleatorie $\frac{n-1}{{\sigma }_X^2}{S}_X^2$ e $\frac{m-1}{{\sigma }_Y^2}{S}_Y^2$ seguono rispettivamente le distribuzioni chi quadro ${\chi }^2(n-1)$ e ${\chi }^2(m-1)$;

• il rapporto $F=\frac{{\sigma }_Y^2}{{\sigma }_X^2}\frac{S_X^2}{S_Y^2}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor $ℱ(n-1,m-1)$.

Variabile di decisione

Sotto l'ipotesi $H_0=({\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2)$, ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria

$F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}$

segue la distribuzione di Fisher-Snedecor

$ℱ(n-1,m-1)$

di parametri n-1 e m-1, dove n e m sono le numerosità dei due campioni.

La scelta del numeratore non influenza il test: sotto l'ipotesi nulla la variabile aleatoria $1/F$ segue la distribuzione $ℱ(m-1,n-1)$.

Il test

Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i quantili di ordine $\frac{\alpha }{2}$ e $1-\frac{\alpha }{2}$, mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:

$𝒜=]f_{\frac{\alpha }{2}},f_{1-\frac{\alpha }{2}}[;ℛ=]0,f_{\frac{\alpha }{2}}[\cup ]f_{1-\frac{\alpha }{2}},\mathrm{\infty }[$

Un valore appartenente all'intervallo $]0,f_{\frac{\alpha }{2}}[$ suggerisce che la varianza di X sia minore della varianza di Y, mentre un valore appartenente all'intervallo $]f_{1-\frac{\alpha }{2}},\mathrm{\infty }[$ suggerisce l'inverso.

Econometria

In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:

$F=\frac{\left(\frac{{\text{SSR}}_1-{\text{SSR}}_2}{p_2-p_1}\right)}{\left(\frac{{\text{SSR}}_2}{n-p_2}\right)}$

dove SSR_i è la somma dei quadrati residui (dall'inglese Sum of Square Residuals) del modello i.

In econometria vale anche la seguente formula di moltiplicazioni tra matrici:

$F=\frac{(R\hat{\beta }-r)(\widehat{RVar(\hat{\beta })R^{\prime }}{)}^{-1}(R\hat{\beta }-r)}{q}$

dove:

• $R$ è la matrice dei vincoli;
• $r$ è il parametro d'eguagliaza;
• $(\widehat{RVar(\hat{\beta })R^{\prime }}{)}^{-1}$ è l'inversa della matrice con le covarianze;
• $q$ è il numero dei vincoli di $H_0$.

Solitamente gli strumenti sono rilevanti se F ≥ 10

Una tavola dei valori critici del test F può essere trovata qui.

Applicazione alla comparazione di diverse statistiche ${\chi }^2$

In analisi dei dati il test F viene comunemente usato per confrontare i risultati ottenuti con due diversi metodi e valutati con l'estimatore ${\chi }^2$. Se si hanno due variabili ${\chi }_1^2$ e ${\chi }_2^2$ che seguono la distribuzione di ${\chi }^2$ a ${\nu }_1$ e ${\nu }_2$ gradi di libertà rispettivamente, si può costruire la variabile $f$:

$f=\frac{{\chi }_1^2/{\nu }_1}{{\chi }_2^2/{\nu }_2}$

che sarà distribuita secondo la Distribuzione F:

$p(f;{\nu }_1,{\nu }_2)=\frac{\mathrm{\Gamma }[({\nu }_1+{\nu }_2)/2]}{\mathrm{\Gamma }[{\nu }_1/2]\mathrm{\Gamma }[{\nu }_2/2]}{\left(\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\right)}^{{\nu }_1/2}\frac{f^{1/2({\nu }_1-2)}}{(1+f{\nu }_1/{\nu }_2{)}^{1/2({\nu }_1+{\nu }_2)}}$.

Per capire se ${\chi }_1^2$ e ${\chi }_2^2$ siano consistenti si usa, quindi, l'integrale della distribuzione di probabilità per $f$:

$P_f(f^0;{\nu }_1,{\nu }_2)=\underset{f^0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(f,{\nu }_1,{\nu }_2)df$

dove $f^0$ è il particolare valore di $f$ ottenuto.

Il valore di $P_f$ fornisce la probabilità di trovare un valore di $f$ pari a $f^0$ o più alto da dati casuali se ${\chi }_1^2$ e ${\chi }_2^2$ sono in accordo.

Tipicamente il test F usato per i ${\chi }^2$ confronta due fit applicati agli stessi dati per capire se uno è migliore dell'altro. Se il valore di $P_f$ è minore del livello di confidenza scelto (ad es. 5%), si ha una significativa differenza nella bontà dei due fit.

Collegamenti esterni

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