Dimostrazione della irrazionalità di e

Il numero e fu introdotto nel 1683 da Jacob Bernoulli. Più di mezzo secolo dopo, Eulero, che fu uno studente di Johann Bernoulli (fratello minore di Jacob), dimostrò che $e$ è irrazionale; cioè, non può essere espresso come rapporto tra due interi.

Dimostrazione di Eulero

Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di $e$ nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo). Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di $e$ come frazione continua semplice, che è

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots ,2n,1,1,\dots ].$

Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita, $e$ è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di $e$, vedere Cohn (2006). Poiché la frazione continua di $e$ non è periodica, questo dimostra anche che $e$ non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, $e^2$ è irrazionale.

Dimostrazione di Fourier

La dimostrazione più conosciuta è quella di Joseph Fourier procedendo per assurdo, che si basa sull'identità

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\cdot$

Si supponga che $e$ sia un numero razionale. Allora esistono $a$ e $b$ interi positivi tale che $e=a/b$. Da notare che $b$ non può essere uguale a 1 dato che $e$ non è un intero. Si può dimostrare utilizzando la precedente identità che $e$ è strettamente compreso tra $2$ e $3$:

$2=1+\frac{1}{1!}<e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots <1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots )=3.$

Si definisca il numero

$x=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$

Se $e$ è razionale, allora $x$ è un intero, infatti sostituendo $e=a/b$ nella definizione di $x$ si ottiene

$x=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}.$

Il primo termine è un intero, e ogni frazione nella somma è in effetti anch'essa un intero poiché $n\le b$ per ogni termine. Pertanto, $x$ è un intero.

Si dimostra ora che $0<x<1$. Prima, per mostrare che $x$ è strettamente positivo, si inserisce la rappresentazione in serie di $e$ nella definizione di $x$, da cui si ricava

$x=b!(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}>0,$

poiché tutti i termini sono strettamente positivi.

Resta da dimostrare che $x<1$. Per tutti i termini con $n\ge b+1$ si ha la stima superiore

$\frac{b!}{n!}=\frac{1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}<\frac{1}{(b+1{)}^{n-b}}.$

Questa disuguaglianza è stretta per ogni $n\ge b+2$. Cambiando l'indice della sommatoria in $k=n-b$ e utilizzando la formula della serie geometrica, si ottiene

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}<\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^{n-b}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^k}=\frac{1}{b+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{b+1}}\right)=\frac{1}{b}<1.$

Dal momento che non esistono degli interi strettamente compresi tra $0$ e $1$, si è ottenuta una contraddizione e quindi $e$ deve essere irrazionale. Q.E.D.

Dimostrazioni alternative

Si può ottenere un'altra dimostrazione da quella precedente notando che

$(b+1)x=1+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{(b+2)(b+3)}+\cdots <1+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\cdots =1+x,$

e questa disuguaglianza è equivalente a $bx<1$. Questo è ovviamente impossibile, poiché $b$ e $x$ sono numeri naturali.

Un'altra dimostrazione ancora deriva dal fatto che

$\frac{1}{e}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\cdot$

Si definisca $s_n$ come segue:

$s_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$

$e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}-\sum _{k=0}^{2n-1}\frac{(-1{)}^k}{k!}<\frac{1}{(2n)!}$

Questo implica che $0<(2n-1)!(e^{-1}-s_{2n-1})<\frac{1}{2k}\le \frac{1}{2}$ per ogni intero $n\ge 2$

Si nota che $(2n-1)!s_{2n-1}$ è sempre un intero. Si assuma che $e^{-1}$ sia razionale.

Quindi, $e^{-1}=\frac{p}{q}$ dove $p,q$ sono coprimi e $q\ne 0$. È possibile scegliere $n$ propriamente in modo che $(2n-1)!e^{-1}$ sia un intero, cioè prendendo $n\ge \frac{q+1}{2}$.

Perciò, con questa scelta, la differenza tra $(2n-1)!e^{-1}$ e $(2n-1)!s_{2n-1}$ dovrebbe essere un intero. Ma segue dalla disuguaglianza precedente che è impossibile. Quindi, $e^{-1}$ è irrazionale. Questo significa che $e$ è irrazionale.

Generalizzazioni

Nel 1840, Liouville pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di $e^2$ seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali. Questo ultimo risultato implica che $e^4$ è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di $e$. Nel 1891, Hurwitz spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che $e$ non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali. In particolare, $e^3$ è irrazionale.

Più in generale, $e^q$ è irrazionale per ogni $q$ razionale diverso da zero.

Voci correlate

• Definizioni della funzione esponenziale
• Dimostrazione della irrazionalità di π
• Teorema di Lindemann-Weierstrass