Dimostrazione della irrazionalità di π

Template:Torna a Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.

Dimostrazione di Adrien-Marie Legendre (1794)

Si dimostra che ${\pi }^2$ è irrazionale.

Sia $n$ un intero positivo, definiamo $f:ℝ\to ℝ$ come

$f(x):=\frac{x^n(1-x{)}^n}{n!}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k{x}^{n+k},$

dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché $f(x)$ è un polinomio di $2n$-esimo grado di $x$ sarà $f^{(m)}(x)=0$ per ogni $x\in ℝ$ e per ogni intero $m>2n.$ Inoltre $f^{(m)}(0)=0$ per ogni $m<n$ poiché il minimo esponente con cui compare $x$ in $f(x)$ è $n.$

Se $m\in \{n,n+1,\dots ,2n\}$ si ha d'altra parte:

$f^{(m)}(x)=\frac{1}{n!}\sum _{k=m-n}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(n+k)!}{(n+k-m)!}(-1{)}^k{x}^{n+k-m},$

per cui per ogni $m\in \{n,n+1,\dots ,2n\}$ abbiamo che

$f^{(m)}(0)=\frac{1}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m-n})m!(-1{)}^{m-n}\in \mathbb{Z}.$

Queste considerazioni mostrano che $f^{(m)}(0)\in \mathbb{Z}$ per ogni $m\in \mathbb{N}.$ Da cui, essendo $f(1-x)=f(x),$ abbiamo anche $f^{(m)}(1)\in \mathbb{Z}.$

Supponiamo ora, per assurdo, che esistano due interi positivi $a$ e $b$ tali che ${\pi }^2=\frac{a}{b}.$ Definiamo $F_n:ℝ\to ℝ$ come:

$F_n(x):=b^n\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\pi }^{2(n-k)}{f}^{(2k)}(x).$

Per quanto detto prima $F_n(0)$ e $F_n(1)$ sono interi. Inoltre, ricordando che $f^{(2n+2)}(x)=0,$ abbiamo:

$F_n^{(2)}(x)+{\pi }^2{F}_n(x)=b^n[\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\pi }^{2(n-k)}{f}^{(2k+2)}(x)+{\pi }^2\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\pi }^{2(n-k)}{f}^{(2k)}(x)]=$

$=b^n[-{\pi }^2\sum _{h=1}^{n+1}(-1{)}^h{\pi }^{2(n-h)}{f}^{(2h)}(x)+{\pi }^2\sum _{h=0}^n(-1{)}^h{\pi }^{2(n-h)}{f}^{(2h)}(x)]=b^n{\pi }^{2(n+1)}f(x)=a^n{\pi }^{2}f(x).$

Da questi calcoli segue che:

$\frac{d}{dx}[F_n^{(1)}(x)\sin (\pi x)-\pi F_n(x)\cos (\pi x)]={\pi }^2{a}^{n}f(x)\sin (\pi x).$

Si ha quindi:

$\pi a^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\sin (\pi x)dx=\frac{1}{\pi }{[F_n^{(1)}(x)\sin (\pi x)-\pi F_n(x)\cos (\pi x)]}_0^1=F_n(1)+F_n(0)\in \mathbb{Z}.$

Poiché per ogni $x\in (0,1)$ abbiamo che $x^n(1-x{)}^n\in (0,1),$ otteniamo che

$0<f(x)<\frac{1}{n!}.$

Quindi

$\pi a^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\sin (\pi x)dx\in (0,\frac{\pi a^n}{n!})\cap \mathbb{Z}.$

D'altra parte,

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi a^n}{n!}=0,$

quindi, per $n$ sufficientemente grande,

$(0,\frac{\pi a^n}{n!})\subset (0,1).$

Abbiamo quindi trovato che

$\pi a^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\sin (\pi x)dx\in (0,1)\cap \mathbb{Z}.$

Ma non esistono interi nell'intervallo $(0,1)$, quindi abbiamo raggiunto un assurdo. Questo mostra che ${\pi }^2$ (e quindi anche $\pi$) è irrazionale.

Voci correlate

• Prime 100.000 cifre del numero irrazionale Pi greco
• Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π