Teorema di Lindemann-Weierstrass

Template:S In matematica, il teorema di Lindemann-Weierstrass è un risultato di algebra astratta molto utile per stabilire la trascendenza di determinati numeri. Come corollari, ne vengono la trascendenza di $e$ e $\pi$.

Esso afferma che se ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ sono numeri algebrici linearmente indipendenti sul campo dei numeri razionali $\mathbb{Q}$, allora $e^{{\alpha }_1},...,e^{{\alpha }_n}$ sono algebricamente indipendenti su $\mathbb{Q}$.

Una formulazione equivalente è la seguente: se ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ sono numeri algebrici distinti, allora $e^{{\alpha }_1},...,e^{{\alpha }_n}$ sono linearmente indipendenti sull'insieme dei numeri algebrici.

Ferdinand von Lindemann provò per primo, nel 1882, che $e^{\alpha }$ è trascendente per ogni numero algebrico non nullo $\alpha$, mentre nel 1885 Karl Weierstrass ha provato la versione più generale qua enunciata.

Il teorema è generalizzato dalla congettura di Schanuel.

Bibliografia

• Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X
• F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213-225
• David Hilbert, Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$. Mathematische Annalen 43] (1893), pp. 216–219
• Kurt Mahler, Lectures on transcendental numbers (= Lecture Notes in Mathematics 546). Springer, Berlin 1976, ISBN 3-540-07986-6
• Karl Weierstrass, Zu Lindemann‘s Abhandlung: „Über die Ludolph'sche Zahl“. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 5 (1885), pp. 1067–1085.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Numero trascendente
• Estensione di campi
• Dimostrazione della trascendenza di e
• Teorema di Gel'fond-Schneider

Collegamenti esterni

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