Criterio di Leibniz

In analisi matematica, il criterio di Leibniz (scritto anche Leibnitz) è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Secondo tale criterio se una successione a termini positivi $\{a_k\}$ è decrescente e infinitesima, allora la serie

$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k$

converge.

Prende il nome dal matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz.

Enunciato

Sia $\{a_k{\}}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ una successione di numeri reali tale che:

• esiste un $N\in {\mathbb{N}}_0$ tale che $a_N\ge a_{N+1}\ge a_{N+2}\ge \cdots \ge a_{N+n}>0$ per ogni $n\in {\mathbb{N}}_0$ (quindi la successione $\{a_k{\}}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ è monotona debolmente decrescente)
• $\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k=0$.

Allora la serie

$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k$

è convergente.

Dimostrazione

Poiché $\{a_n\}$ è decrescente, per ogni $n$ si ha che

$s_{2n}\ge s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}$

da cui segue che

$s_0\ge s_2\ge s_4\ge \cdots \ge s_{2n}\ge \cdots$

Similmente

$s_{2n+1}\le s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}$

e quindi

$s_1\le s_3\le s_5\le \cdots \le s_{2n+1}\le \cdots$

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre $s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\le s_{2n}$ e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre $D=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{2n+1}$ e $P=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{2n}$. Per ogni $n$ si ha

$s_{2n+1}\le D\le P\le s_{2n}$

perché se fosse $D>P$ potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni $\epsilon$ da $P$ e termine dispari distanti da $D$ meno di $\epsilon$; per $\epsilon$ sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra $P$ e $D$ diventa più piccola di ogni $a_n$; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa $P-D$ ovvero $P=D$. Poniamo $S=P=D$. Essendo $S$ il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni $\epsilon >0$ esiste $m$ tale che $|S-s_n|<\epsilon$ per ogni $n>m$ (con $n$ pari). Allo stesso modo, essendo $S$ il limite delle somme parziali dispari, esiste $k$ tale che la disuguaglianza vale per ogni $n$ dispari maggiore di $k$. Quindi prendendo $h=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{m,k\}$ la disuguaglianza vale per ogni $n>h$, per ogni $n$ pari e dispari, e si ha quindi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=S$

e la serie converge.

Osservazioni sulla dimostrazione

• Dalla dimostrazione, abbiamo che $|S-s_n|\le a_{n+1}$; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale $n$-esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:

$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k};$

calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene

$s_{10}=\sum _{k=1}^{10}\frac{(-1{)}^k}{k}\approx -0,6456,$

mentre la somma infinita vale esattamente

$S=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}=-\ln 2\approx -0,6931,$

e si nota che

$|s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909\dots =\frac{1}{11}.$

• Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè $a_k\ge 0\mathrm{\forall }k,\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k=0,a_k\sim b_k$ dove $\{b_k\}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

Dimostrazione alternativa

Template:Vedi anche Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie.

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
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Voci correlate

• Criteri di convergenza
• Criterio di Dirichlet (matematica)