Criterio di Dirichlet (matematica)

Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.

Enunciato

Siano $\{a_n\}$ una successione di numeri complessi e $\{b_n\}$ una successione di numeri reali tali che:

• $b_1\ge b_2\ge \cdots >0;$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0;$

• $\left|\sum _{n=1}^N{a}_n\right|\le M$ per ogni intero positivo $N,$ dove $M$ è indipendente dalla scelta di $N.$

Allora $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ converge in $ℂ.$

Dimostrazione

Sia $A_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$, e sia $M\in ℝ$ tale che $M\ge |A_n|$ per ogni intero non negativo $n.$ Allora, fissato un $\epsilon >0$ esiste un intero $N$ tale che $b_N\le \frac{\epsilon }{2M}.$ Per ogni $N\le m\le n$ si ha allora, per parti:

$\left|\sum _{i=m}^n{a}_i{b}_i\right|=|\sum _{i=m}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1})+A_n{b}_n-A_{m-1}{b}_m|\le M|\sum _{i=m}^{n-1}(b_i-b_{i+1})+b_n+b_m|=2M{b}_m\le 2M{b}_N\le \epsilon .$

Quindi, per il criterio di Cauchy, la serie è convergente. Q.E.D.

Corollari

Criterio di Leibniz

Template:Vedi anche Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del criterio di Leibniz, dove la successione $\{a_n\}$ è la successione $(-1{)}^n$.

Convergenza di una serie di potenze

Template:Vedi anche Sia $\sum b_i{z}^i$ una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia $\{b_n\}$ una successione non crescente e infinitesima per $n\to \mathrm{\infty }$. Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio $C=\{z\in ℂ:|z|=1\}$ tranne al più in $z=1$.

Sia infatti $\{a_n\}=z^n$; si ha, per $z\ne 1$:

$|A_n|=\left|\sum _{i=0}^n{z}^i\right|=\left|\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\right|\le \frac{2}{|1-z|},$

quindi la serie $\sum a_i{b}_i=\sum b_i{z}^i$ converge per il criterio di Dirichlet.

Bibliografia

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Voci correlate

• Criteri di convergenza
• Criterio di Leibniz
• Sommazione per parti

Collegamenti esterni

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