Coefficiente binomiale gaussiano

In matematica, il coefficiente binomiale gaussiano (noto anche come coefficiente gaussiano o coefficiente $q$ -binomiale) è un $q$ -analogo del coefficiente binomiale. Viene denotato con ${(\binom{n}{k})}_{q}$ , oppure con ${[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q}$ , ed è un polinomio in $q$ a coefficienti interi il cui valore, quando $q$ è una potenza di un numero primo, corrisponde al numero di sottospazi di dimensione $k$ in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su $𝔽_{q}$ , un campo finito con $q$ elementi; equivalentemente, è il numero di punti nella grassmanniana $G r (k, 𝔽_{q}^{n})$ .

Definizione

Il coefficiente binomiale gaussiano è definito nel seguente modo:^[1]

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{(1 - q^{m}) (1 - q^{m - 1}) \dots (1 - q^{m - r + 1})}{(1 - q) (1 - q^{2}) \dots (1 - q^{r})}

,

dove $m$ e $r$ sono due interi non negativi; analogamente al coefficiente binomiale, se $r > m$ si ottiene 0, mentre se $r = 0$ il valore è 1 in quanto sia il numeratore che il denominatore sono prodotti vuoti. Sebbene questa formula possa sembrare una funzione razionale, in realtà essa rappresenta un polinomio, poiché la divisione è esatta in $ℤ [q]$ .

Tutti i fattori del numeratore e del denominatore sono divisibili per $1 - q$ : eseguendo queste divisioni si ottiene

[k]_{q} = \sum_{0 \leq i < k} q^{i} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{k - 1} = {\begin{matrix} \frac{1 - q^{k}}{1 - q} & per & q \neq 1 \\ k & per & q = 1 \end{matrix}

.

Possiamo in tal modo ottenere la formula equivalente

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{[m]_{q} [m - 1]_{q} \dots [m - r + 1]_{q}}{[1]_{q} [2]_{q} \dots [r]_{q}} (r \leq m) .

Si può infine osservare che, sostituendo $q$ =1 in ${(\binom{m}{r})}_{q}$ , si ottiene il coefficiente binomiale ordinario $(\binom{m}{r})$ .

Proprietà

Analogamente al coefficiente binomiale ordinario, il coefficiente binomiale gaussiano è invariante rispetto alla mappa $r \to m - r$ :

{(\binom{m}{r})}_{q} = {(\binom{m}{m - r})}_{q} .

In particolare,

{(\binom{m}{0})}_{q} = {(\binom{m}{m})}_{q} = 1,

{(\binom{m}{1})}_{q} = {(\binom{m}{m - 1})}_{q} = \frac{1 - q^{m}}{1 - q} = 1 + q + \dots + q^{m - 1} m \geq 1 .

Limite per q = 1

Valutando il coefficiente binomiale gaussiano in Template:Tutto attaccato si ottiene

\lim_{q \to 1} {(\binom{m}{r})}_{q} = (\binom{m}{r})

cioè la somma dei coefficienti restituisce il corrispondente valore del coefficiente binomiale.

Grado del polinomio

Il grado di ${(\binom{m}{r})}_{q}$ è $(\binom{m + 1}{2}) - (\binom{r + 1}{2}) - (\binom{(m - r) + 1}{2}) = r (m - r)$ .

q-identità

Per i coefficienti binomiali gaussiani valgono le seguenti identità

{(\binom{m}{r})}_{q} = q^{r} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} + {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q}

e

{(\binom{m}{r})}_{q} = {(\binom{m - 1}{r})}_{q} + q^{m - r} {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q}

.

Entrambe possono essere ricondotte all'altrettanto nota identità relativa ai coefficienti binomiali

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})

imponendo $q = 1$ .

Dimostrazione

Entrambe le identità possono essere dimostrate osservando che, dalla definizione di ${(\binom{m}{r})}_{q}$ , si ha:

${(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{1 - q^{m}}{1 - q^{m - r}} {(\binom{m - 1}{r})}_{q}$
${(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{1 - q^{m}}{1 - q^{r}} {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q}$
$\frac{1 - q^{r}}{1 - q^{m - r}} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} = {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q}$

Poiché

\frac{1 - q^{m}}{1 - q^{m - r}} = \frac{1 - q^{r} + q^{r} - q^{m}}{1 - q^{m - r}} = q^{r} + \frac{1 - q^{r}}{1 - q^{m - r}}

,

l'equazione 1. diventa

{(\binom{m}{r})}_{q} = q^{r} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} + \frac{1 - q^{r}}{1 - q^{m - r}} {(\binom{m - 1}{r})}_{q}

ed utilizzando l'equazione 3. si ottiene la prima delle due identità.

Un ragionamento simile, utilizzando l'uguaglianza

\frac{1 - q^{m}}{1 - q^{r}} = q^{m - r} + \frac{1 - q^{m - r}}{1 - q^{r}}

,

permette di giungere alla seconda identità.

Teorema q-binomiale

Esiste anche un analogo del teorema binomiale per i coefficienti binomiali gaussiani, noto come teorema binomiale di Cauchy:

\prod_{k = 0}^{n - 1} (1 + q^{k} t) = \sum_{k = 0}^{n} q^{k (k - 1) / 2} {(\binom{n}{k})}_{q} t^{k} .

Allo stesso modo del teorema binomiale, questa formula ha numerose generalizzazioni ed estensioni: una di esse, ad esempio, corrisponde al teorema binomiale generalizzato di Newton per potenze negative

\prod_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{1 - q^{k} t} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(\binom{n + k - 1}{k})}_{q} t^{k} .

Identità q-binomiale centrale

Con i coefficienti binomiali ordinari vale la seguente identità:

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

.

L'analogo nel caso dei coefficienti binomiali gaussiani è:

\sum_{k = 0}^{n} q^{k^{2}} {(\binom{n}{k})}_{q}^{2} = {(\binom{2 n}{n})}_{q}

.

Applicazioni

Originariamente Gauss utilizzò questi coefficienti per determinare il segno della somma quadratica di Gauss.^[2]

La principale applicazione dei coefficienti binomiali gaussiani avviene nella teoria enumerativa degli spazi proiettivi definiti su un campo finito: per ogni campo finito $𝔽_{q}$ con $q$ elementi, il coefficiente binomiale gaussiano

{(\binom{n}{k})}_{q}

determina il numero di sottospazi vettoriali $k$ -dimensionali all'interno di uno spazio vettoriale $n$ -dimensionale su $𝔽_{q}$ (una grassmanniana). Quando viene espanso come polinomio in $q$ , restituisce la decomposizione della grassmanniana in celle di Schubert.

Il numero di sottospazi affini $k$ -dimensionali di $𝔽_{q}^{n}$ è invece uguale a

q^{n - k} {(\binom{n}{k})}_{q}

.

Palline nelle urne

Se si denota con $B (n, m, r)$ il numero di possibili modi di lanciare $r$ palline indistinguibili in $m$ urne indistinguibili, ciascuna delle quali può contenere al massimo $n$ palline, il coefficiente binomiale gaussiano può essere utilizzato per caratterizzare questo valore: infatti,

B (n, m, r) = [q^{r}] {(\binom{n + m}{m})}_{q}

,

dove $[q^{r}] P$ denota il coefficiente del termine $q^{r}$ nel polinomio $P$ .

Note

↑ Mukhin, Eugene, capitolo 3
↑ Template:Cita pubblicazione

Bibliografia

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Voci correlate

Collegamenti esterni

Template:Collegamenti esterni

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[1] Mukhin, Eugene, capitolo 3

[2] Template:Cita pubblicazione

[1]

[2]

Coefficiente binomiale gaussiano

Indice

Definizione

Proprietà

Limite per q = 1

Grado del polinomio

q-identità

Dimostrazione

Teorema q-binomiale

Identità q-binomiale centrale

Applicazioni

Palline nelle urne

Note

Bibliografia

Voci correlate

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Coefficiente binomiale gaussiano

Definizione

Proprietà

Limite per q = 1

Grado del polinomio

q-identità

Dimostrazione

Teorema q-binomiale

Identità q-binomiale centrale

Applicazioni

Palline nelle urne

Note

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